28线性方程组的相容性、解的结构及解法.ppt

从向量到向量空间向量向量组向量组的相关性最大线性无关组线性运算的封闭性向量空间向量组的秩向量空间的基向量空间的维数过渡矩阵齐次线性方程组求解线性运算*例3.2.4求解方程组解：*，则对应方程组为令为任意常数）*例3.2.3求下列齐次方程组的通解。解：初等行变换*行最简形矩阵对应的方程组为即是自由未知量。令则即为任意常数。*解：初等行变换所以只有零解。解:例4.3.1求方程组的基础解系和通解因为，故基础解系含4-2个解,分别取得则基础解系为:解方程组通解为:或例4.3.2求方程组的通解解:于是有导出组的通解为方程组的特解为方程组的通解为向量空间或称线性空间，是现代数学中的一个基本概念，是线性代数研究的基本对象。向量空间是线性代数的主体，它是数学中基本又重要的概念，其理论和方法已应用到自然科学、工程技术及社会科学的诸多领域。向量空间的一个直观模型是向量几何，几何上的向量及相关的运算即向量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“向量空间”这个数学概念的直观形象。在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，符合下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。课后小读物：向量空间地位与用途西安建筑科技大学张俊敏线性代数西安建筑科技大学张俊敏线性代数第八节线性方程组的相容性、解的结构及解法线性方程组的相容性齐次线性方程组的解空间和基础解系非齐次线性方程组解的结构及通解定义2.8.1(2.8.1)则(2.8.1)也可以表示为记(2.8.2)一.线性方程组的相容性是(2.8.1)的解，则为(2.8.2)的解向量。如果称设有线性方程组特别地，为零向量时为齐次线性方程组，否则为由于矩阵是有序向量组，故线性方程组的相容性在矩阵形式下表现为如下形式。非齐次线性方程组。*齐次线性方程组解的情况齐次线性方程需要解决的问题：解存在的条件；解的数量；解的性质定理2.8.1：齐次线性方程组有非零解定理2.8.2：齐次线性方程组只有零解*例2.8.1解：因为，所有该齐次方程组有非零解。判断下列方程组的相容性。*非齐次性线性方程组解的情况并且非齐次线性方程需要解决的问题：解存在的条件；解的数量；解的性质当时，有唯一解；当时，有无穷多解。定理2.8.3：非齐次线性方程组有解*非齐次性线性方程组解的情况非齐次线性方程需要解决的问题：解存在的条件；解的数量；解的性质定理2.8.4：非齐次线性方程组无解*例2.8.2解：因为，所以方程组无解。判断下列方程组的相容性。*例2.8.3解：因为，所以方程组有无穷多个解。判断下列方程组的相容性。需探讨解向量组的特性：秩；最大线性无关组。解向量组的线性运算封闭性，即是否向量空间。解的表示。已知道：解的数量：唯一解（零解），无穷多解二.齐次线性方程组的解空间和基础解系评注：如果能找到解空间的一组基，则解空间即全部解就可以得到。定义2.8.2齐次线性方程组的全体解向量集合构成了一个向量空间，称为解空间。⑴若是(2.8.2)的解，则也是;解的性质:⑵若是(2.8.2)的解，则也是。其中为任意实数。(2.8.3)定理2.8.5在(2.8.2)中设则(2.8.2)的解向量组为维向量空间。证:不妨设前行前列线性无关，则方程组(2.8.1)若确定，则确定一个解向量。可以改写成在