重难点12 解三角形的最值和范围问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.pdf

重难点12解三角形的最值和范围问题【九大题型】

【新高考专用】

【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】2

【题型2三角形边长的最值或范围问题】3

【题型3三角形周长的最值或范围问题】4

【题型4三角形的角（角的三角函数值）的最值或范围问题】5

【题型5利用基本不等式求最值（范围）】6

【题型6转化为三角函数求最值（范围）】7

【题型7转化为其他函数求最值（范围）】8

【题型8“坐标法”求最值（范围）】9

【题型9与平面向量有关的最值（范围）问题】10

1、解三角形的最值和范围问题

解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或

与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，主

要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的

关键是建立起角与边的数量关系.

【知识点1三角形中的最值和范围问题】

1．三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法：

(1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）；

(2)利用基本不等式求最值（范围）；

(3)转化为三角函数求最值（范围）；

(4)转化为其他函数求最值（范围）；

(5)坐标法求最值（范围）.

2．三角形中的最值（范围）问题的解题策略：

(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运

用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究

其最值（范围）．

(2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略

三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利

用三角函数的范围求出最值或范围.

(3)坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略

“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边

角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结

合三角函数、基本不等式等知识求其最值．

【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】

【例1】（2024·河北石家庄·三模）在△，角、对的边分别为=4,=9．

2

(1)若sin=，求sin⋅sin的值；

3

(2)求△积的最大值．

os=3−

【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知

os2in=3

，.

(1)求.

(2)求△积的取值范围.

=1=2

【变式1-2】（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面内，四边形满足，点在的两侧，，，

△为正三角形，设∠=

π

(1)当=时，求；

3

(2)当变化时，求四边形面积的最大值.

△3=2in

【变式1-3】（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．

(1)求sin值；

=3△

(2)若，求面积的最大值．

【题型2三角形边长的最值或范围问题】

【例2】（2024·四川·三模）在△，内角，对边分别为且满足2incos=sinos