重难点18 球的切、接问题（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.pdf

重难点18球的切、接问题【十大题型】

【新高考专用】

【题型1定义法求外接球问题】4

【题型2补形法求外接球问题】7

【题型3截面法求外接球问题】9

【题型4棱切球模型问题】13

【题型5内切球模型问题】15

【题型6多球相切问题】19

【题型7外接球之二面角模型】23

【题型8与球的切、接有关的最值问题】27

【题型9与球的切、接有关的截面问题】31

【题型10多面体与球体内切外接综合问题】35

1、球的切、接问题

球的切、接问题是历年高考的重点、热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计算

能力.其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体来解决或转化为特殊几何

体的切、接问题来解决.

【知识点1正方体与球、长方体与球】

1．正方体与球的切、接问题

(1)内切球：内切球直径2R正方体棱长a.

(2)棱切球：棱切球直径2R正方体的面对角线长.

(3)外接球：外接球直径2R正方体体对角线长.

2．长方体与球

外接球：外接球直径2R体对角线长(a,b,c分别为长方体的长、宽、高).

【知识点2正棱锥与球】

1．正棱体与球的切、接问题

(1)内切球：(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高.

(2)外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，(正

棱锥外接球半径为R，高为h).

【知识点3正四面体的外接球、内切球】

1．正四面体的外接球、内切球

若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则，，

，.

【知识点4正三棱柱的外接球】

1．正三棱柱的外接球

球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心.

.

【知识点5圆柱、圆锥的外接球】

1．圆柱的外接球

(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径).

2．圆锥的外接球

(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径).

【知识点6几何体与球的切、接问题的解题策略】

1．常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：

常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.

常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：

2．空间几何体外接球问题的求解方法：

空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：

(1)定义法：利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，

确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.

(2)补形法：若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两垂直，且PAa，PBb，PCc，一般

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把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4Ra+b+c求解.

(3)截面法：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线

作截面，把空间问题转化为平面问题求解.

3．内切球问题的求解策略：

(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.

(2)体积分割是求内切球半径的通用方法.

【题型1定义法求外接球问题】

−⊥∠=60°=1=2

【例1】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）三棱锥