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研究生考试考研数学(一301)复习试题(答案在后面)
一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）
1、设函数fx=x
A.1
B.2
C.3
D.0
2、设函数fx在区间a,b上连续，且fa=
A、fx在a
B、fx在a
C、fx在a
D、a,b内连续且
3、已知函数fx=1x的图像在变换后的新函数gx=f
A.2
B.3
C.4
D.5
4、若函数fx=x3?3x+1
A.最大值在x=1
B.最大值在x=2
C.最大值在x=1
D.最大值在x=2
5、设函数fx=x2+1,x0a
A.a
B.a
C.a
D.a
6、若函数fx=ex+
A.e
B.1
C.e
D.e
7、设函数fx=1
A.?
B.?
C.?
D.?
8、设函数fx=x2sin
A.0
B.1
C.-1
D.不存在
9、设函数fx=ln1+x（
A.1
B.e
C.e
D.1
10、设函数fx=lnx+1?x2，若f′x
A.?
B.?
C.0
D.0
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
1、设函数fx=sin3x
2、设函数fx=ex
3、设函数fx=lnx2?
4、设函数fx=sinx+2cosx，则fx的最大值为1。解析：利用导数求极值的方法，计算f
5、设函数fx=e?
6、设函数fx=ex1+
三、解答题（本大题有7小题，每小题10分，共70分）
第一题
题目描述：
设函数fx在区间a,b上连续，在a,b内可导，且fa=
解题思路：
本题可以使用罗尔定理（Rolle’sTheorem）来证明。罗尔定理是微分学中的一个重要定理，它指出如果一个实值函数f满足以下三个条件：
1.函数f在闭区间a,
2.函数f在开区间a,
3.fa
那么在a,b内至少存在一个点ξ使得
给定题目中的条件与罗尔定理的条件完全吻合，因此可以直接应用罗尔定理来证明结论。
证明过程：
已知fx在a,b上连续，在a
根据罗尔定理，因为fx满足上述三个条件，所以必存在至少一个点ξ∈a
这即证明了题目中的结论。
第二题
设函数fx=x3?6x
第三题
已知函数fx=x
解答过程：
1.求导数：f
2.求导数的零点：3x2?3
3.求二阶导数：f
4.确定极值点的类型：
当x=1时，f″
当x=?1时，f
第四题
已知函数fx
求函数fx
判断函数fx
证明：存在常数k0，使得对于所有x≥
第五题
设函数f
其中a是常数。
若fx在x=0
若fx在x=0处可导，求a
第六题
题目：设函数fx在区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，且满足fa=
第七题
已知函数fx=exx，其中x
研究生考试考研数学(一301)复习试题及答案指导
一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）
1、设函数fx=x
A.1
B.2
C.3
D.0
答案：C
解析：首先求导数f′x=3x2?3。令f′x=0
2、设函数fx在区间a,b上连续，且fa=
A、fx在a
B、fx在a
C、fx在a
D、a,b内连续且
答案：D
解析：本题考查的是介值定理。介值定理指出，如果函数fx在闭区间a,b上连续，并且存在实数m介于fa和fb之间，则至少存在一点c∈a,b使得fc=m。特别地，如果fa
A、B选项中的单调性条件无法直接保证fc
C选项中的fx不为零，这与题目条件f
D选项条件fa?fb≤0表示fa和
3、已知函数fx=1x的图像在变换后的新函数gx=f
A.2
B.3
C.4
D.5
答案：B
解析：由题意知，gx=f2x?1
b
将b代入关于x的方程y=
a
解这个方程，得：
利用求根公式a=?b
a=??
这说明a有两个可能的值，即a=1或a=?12。由于a和
因此，a+b=
4、若函数fx=x3?3x+1
A.最大值在x=1
B.最大值在x=2
C.最大值在x=1
D.最大值在x=2
答案：D
解析：
首先，我们求函数fx
f
令导数为0，求出可能的极值点：
3x2?
由于x在区间1,2上，所以x=
接下来，我们检查x=
f
由于f1是负值，并且fx是单调递增的函数（因为f′x
再来看区间端点x=
f
因此，函数fx在区间1,2上的最大值是f2=
5、设函数fx=x2+1,x0a
A.a
B.a
C.a
D.a
答案：C
解析：要使函数在x=
lim
即：
lim
计算可得：
1
所以b=
要使函数在x=
lim
即：
lim
计算可得：
lim
因此a=
综上所述，当a=1,b=1
6、若函数fx=ex+
A.e
B.1
C.e
D.e
答案：A
解析：已知函数fx=ex+lnx，对其求导得到f′x=ex+
7、设函数fx=1
A.?
B.?
C.?
D.?
答案：A
解析：由于1+x2在实数范围内对所有x都大于0
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