重难点20 立体几何中的动态、轨迹问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.docx

重难点20立体几何中的动态、轨迹问题【六大题型】

【新高考专用】

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【题型1动点保持平行的动态轨迹问题】 2

【题型2动点保持垂直的动态轨迹问题】 2

【题型3距离（长度）有关的动态轨迹问题】 4

【题型4角度有关的动态轨迹问题】 4

【题型5翻折有关的动态轨迹问题】 5

【题型6轨迹所围图形的周长、面积问题】 6

1、立体几何中的动态、轨迹问题

“动态、轨迹”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，是高考中的重点、难度问题，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化.

【知识点1立体几何中的动态、轨迹问题的解题策略】

1．动点轨迹的判断方法

动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.

2．立体几何中的轨迹问题的常见解法

(1)定义法：根据圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，进而求解轨迹问题.

(2)交轨法：若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点，此时，要首先分析两动曲线的变化，依赖于哪一个变量?设出这个变量为t，求出两动曲线的方程，然后由这两动曲线方程着力消去参数t，化简整理即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.

(3)几何法：从几何视角人手，结合立体几何中的线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，找到动点的轨迹，再进行求解.

(4)坐标法：坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将立体几何中的轨迹问题转化为坐标运算问题，进行求解.

(5)向量法：不通过建系，而是利用空间向量的运算、空间向量基本定理等来研究立体几何中的轨迹问题，进行求解.

【题型1动点保持平行的动态轨迹问题】

【例1】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内一动点（含边界）．若D1F//平面A1EC1，则动点F

A．3 B．5 C．22 D．

【变式1-1】（2024·北京昌平·二模）已知棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1，M是BB1的中点，动点

A．22 B．2 C．1 D．

【变式1-2】（2024·江西赣州·二模）在棱长为4的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P满足AA1=4AP，E，F分别为棱BC，CD的中点，点

A．5373 B．237 C．7

【变式1-3】（2024·山东枣庄·二模）如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点P

A．62,2

C．62,3

【题型2动点保持垂直的动态轨迹问题】

【例2】（2024·山东潍坊·一模）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P为截面

A．22 B．2 C．12

【变式2-1】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面垂直，点P是侧棱DD1上的点，且DP=2PD

????

A．3 B．2 C．233

【变式2-2】（2024·广西玉林·三模）在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=1，AA1=4，E

A．5+2 B．22+2

【变式2-3】（2024·广西南宁·一模）在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°．将菱形沿对角线AC折叠成大小为30°的二面角B′?AC?D．若点E为B′C的中点，F为三棱锥B′?ACD表面上的动点，且总满足

A．4+6?22 B．4+6+

【题型3距离（长度）有关的动态轨迹问题】

【例3】（2024·四川南充·二模）三棱锥A?BCD中，AB=AC=AD=4，BC=CD=DB=6，P为△BCD内部及边界上的动点，AP=22，则点P的轨迹长度为（????

A．π B．2π C．3π D．4π

【变式3-1】（2024·广东梅州·一模）如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，点P是面ABB1

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【变式3-2】（23-24高三上·江西抚州·阶段练习）设A、B是半径为2的球体O表面上的两定点，且∠AOB=π2，球体O表面上动点M满足MA=3MB，则点

A．467π B．2305π

【变式3-3】（2023·陕西西安·模拟预测）已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为22,P是正方形BB

A．23 B．3 C．32

【题型4角度有关的动态轨迹