重难点03 指、对、幂数比较大小问题（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.docx

重难点03指、对、幂数的大小比较问题【八大题型】

【新高考专用】

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【题型1利用函数的性质比较大小】 2

【题型2中间值法比较大小】 3

【题型3特殊值法比较大小】 4

【题型4作差法、作商法比较大小】 6

【题型5构造函数法比较大小】 7

【题型6数形结合比较大小】 9

【题型7含变量问题比较大小】 12

【题型8放缩法比较大小】 14

1、指、对、幂数的大小比较问题

指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.

【知识点1指、对、幂数比较大小的一般方法】

1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：

①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；

②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小；

③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小.

2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．

3.作差法、作商法：

(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；

(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.

4.估算法：

(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；

(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.

5.构造函数法：

构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.

6、放缩法：

(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；

(2)指数和幂函数结合来放缩；

(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.

【题型1利用函数的性质比较大小】

【例1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知a=30.3，b=0.33，c=log0.33，则a，b，c的大小关系是（???）

A．abc B．bac C．cba D．cab

【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性可得答案.

【解答过程】a=30.3

c=log0.33

故选：A.

【变式1-1】（2024·四川自贡·三模）已知a=log213，b=1.20.2，c=0.52.1，则

A．acb B．cab C．cba D．abc

【解题思路】根据对数函数和指数函数的单调性即可判断.

【解答过程】因为y=log2x

所以a=log21

因为y=1.2x为增函数，故b=1.2

因为y=0.5x为减函数，故00.5

综上acb.

故选：A.

【变式1-2】（2024·贵州贵阳·三模）已知a=40.3,b=

A．abc B．acb C．bca D．cab

【解题思路】利用指数函数单调性得到a1，利用指对运算和指数函数单调性得到0b1，利用对数函数单调性得到c0，则比较出大小.

【解答过程】因为a=40.340

c=log

所以abc，

故选：A.

【变式1-3】（2024·山东泰安·模拟预测）已知a=log0.20.3，b=lna，c=2

A．cba B．abc C．bac D．cab

【解题思路】利用对数函数的单调性求得a,b的范围，根据指数函数的单调性得c的范围，即可比较大小.

【解答过程】因为y=log0.2x在(0,+∞)

因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增，所以

因为y=2x在R上单调递增，所以2a

综上，cab.

故选：D.

【题型2中间值法比较大小】

【例2】（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知a=e0.1，b=1?2lg2，c=2?log310，则a

A．bca B．abc C．acb D．bac

【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值0，1，分析判断即可.

【解答过程】由题意可得：a=e

b=1?2lg2=1?lg4，且

因为log310log

故选：B.

【变式2-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知a=1e?

A．abc B．cba C．bca D．acb

【解题思路】取两个中间值1和32，由a=e32

【解答过程】a=1e?12

因此bca．

故选：C．

【变式2-2】（2024·山东