第03讲 一元函数的导数及其应用（2022-2024高考真题）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.docx

第03讲一元函数的导数及其应用（2022-2024高考真题）

（新高考专用）

一、单项选择题

1．（2024·全国·高考真题）设函数fx=ex+2sinx

A．16 B．13 C．12

【解题思路】借助导数的几何意义计算可得其在点0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.

【解答过程】f′

则f′

即该切线方程为y?1=3x，即y=3x+1，

令x=0，则y=1，令y=0，则x=?1

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=1

故选：A.

2．（2024·上海·高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，定义集合M=x0x0∈R,x∈?

A．存在fx是偶函数 B．存在fx在

C．存在fx是严格增函数 D．存在fx在

【解题思路】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数fx

【解答过程】对于A，若存在y=f(x)是偶函数,取x0

则对于任意x∈(?∞,1),f(x)f(1),而

对于B，可构造函数fx=?2,x?1,

当x?1时，则fx=?2，当?1≤x≤1时，fx∈?1,1

则该函数fx的最大值是f

对C，假设存在fx，使得fx严格递增，则M=R，与已知

对D，假设存在fx，使得fx在x=?1处取极小值，则在?1的左侧附近存在n，使得fn

故选：B.

3．（2023·全国·高考真题）函数fx=x3+ax+2

A．?∞,?2 B．?∞,?3 C．

【解题思路】写出f′

【解答过程】f(x)=x3+ax+2

若fx要存在3个零点，则fx要存在极大值和极小值，则

令f′(x)=3x2+a=0

且当x∈?∞,?

当x∈??a3

故fx的极大值为f??a

若fx要存在3个零点，则f??a30

故选：B.

4．（2023·全国·高考真题）曲线y=exx+1在点1,

A．y=e4x B．y=e2x

【解题思路】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.

【解答过程】设曲线y=exx+1在点1,

因为y=e

所以y′

所以k=

所以y?

所以曲线y=exx+1在点1,

故选：C.

5．（2023·全国·高考真题）已知函数fx=aex?lnx

A．e2 B．e C．e?1

【解题思路】根据f′x=a

【解答过程】依题可知，f′x=aex?1

设gx=xex,x∈1,2，所以

gxg1=e，故e≥1

故选：C．

6．（2022·全国·高考真题）函数fx=cosx+x+1

A．?π2，π2 B．?3π

【解题思路】利用导数求得fx的单调区间，从而判断出fx在区间

【解答过程】f′

所以fx在区间0,π2和3π2,2

在区间π2,3π2上

又f0=f2π=2

所以fx在区间0,2π上的最小值为?3π

故选：D.

7．（2022·全国·高考真题）已知a=3132,b=

A．cba B．bac C．abc D．acb

【解题思路】由cb=4tan14结合三角函数的性质可得cb

【解答过程】[方法一]：构造函数

因为当x∈

故cb=4tan14

设f(x)=cos

f′(x)=?sinx+x0，所以

故f14f(0)

所以ba，所以cba，故选A

[方法二]：不等式放缩

因为当x∈0,

取x=18得：cos

4sin14+

当4sin14+

此时sin14

故cos14=1

所以ba，所以cba，故选A

[方法三]：泰勒展开

设x=0.25，则a=3132=1?

c=4sin14

[方法四]：构造函数

因为cb=4tan14，因为当x∈0,π2,sinxxtanx，所以tan1414,即cb

故选：A．

[方法五]：【最优解】不等式放缩

因为cb=4tan14，因为当x∈0,π2,sinxxtanx，所以tan14

故选：A．

8．（2022·全国·高考真题）当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值?2，则

A．?1 B．?12 C．1

【解题思路】根据题意可知f1=?2，f′1=0

【解答过程】因为函数fx定义域为0,+∞，所以依题可知，f1=?2，f′1=0，而f′x=ax?bx2，所以

故选：B.

9．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是（????

A．18,814 B．274,814

【解题思路】设正四棱锥的高为?，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.

【解答过程】∵球的体积为36π，所以球的半径R=3,

[方法一]：导数法

设正四棱锥的底面边长为2a，高为?，

则l2=2a

所以6?=l2

所以正四棱锥的体积V=1

所以V′

当3≤l≤26时，V′