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《提分练习5解几何计数的四种常用方法》

典例剖析

例观察如图所示的图形，并阅读图形下面的相关文字，像这样的十条直线相交最多有________个交点.

解题秘方：n条直线相交，交点最多时，每条直线都与其他直线有一个交点，共有(n-1)个交点，n条直线共有n(n-1)个交点，每个交点都重复数了一次，所以n条直线相交最多有个交点.

解：十条直线相交最多有45(个)交点.

答案：45

分类训练

方法1按顺序计数问题

1.如图所示是一个“跳棋棋盘”，其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上(棋子的落点在相应角的顶点处)，如从起始角∠1跳到终点角∠3的路径有：

(1)写出从起始角∠1跳到终点角∠8，途经一个角的一条路径；

(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角∠8？若能，写出路径.

(3)找出从起始角∠1跳到终点角∠8的路径，要求跳遍所有的角，且不能重复.

方法2按画图计数问题

2.在同一平面内，任意三条直线有哪几种不同的位置关系？你能画图说明吗？

下面是小明的解题过程：

解：有2种位置关系，画图如下：

你认为小明的解答正确吗？如果不正确，请你给出正确的解答

方法3按基本图形计数问题

3.如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个“#”形？

4.数一数，图中共有多少个三角形？

方法4按从特殊到一般的思想方法计数问题

5.两条平行直线上各有n个点，用这n个点按如下规则连接线段：

①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其他交点；

②符合①要求的线段必须全部画出.

图(1)展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0：图(2)展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2.试回答下列问题：

(1)当n=3时，请在图(3)中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数是__________；

(2)试猜想当有n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有________个三角形；

(3)当n=2024时，按上述规则画出的图形中，最少有________个三角形.

参考答案

1.解：

2.解：小明的解答不正确.有4种位置关系，画图如下：

点拨：本题运用了按画图计数的方法，先确定同一平面内三条直线有哪几种位置关系，再逐一画出图形并计数.

3.解：以相邻两条平行线与平行线a，b形成的“#”形为基本图形，有5个，

由两个基本图形组成的“#”形有4个，

由三个基本图形组成的“#”形有3个，

由四个基本图形组成的“#”形有2个，

由五个基本图形组成的“#”形有1个，

所以共有5+4+3+2+1=15（个）.

4.解：I.在小长方形AEOH中：

①由一个三角形构成的三角形有8个

②由两个三角形构成的三角形有5个

③由三个或三个以上的三角形构成的三角形有5个

Ⅱ.在由小长方形AEOH和小长方形DGOH组合成的图形中，同时占据这两个小长方形的三角形有5个.

Ⅲ.在由小长方形AEOH、小长方形DGOH和小长方形CGOF组合成的图形中，同时占据这三个小长方形的三角形有2个.

所以整个图形中共有三角形：

（8+5+5+5+2）×4=25×4=100（个）.

5.解：（1）如图（画法不唯一）：4

(2)2(n-1)

(3)4046

6.解：画图、列表如下：

当n=1时，平面被分成2个部分；

当n=2时，增加2个，最多将平面分成2+2=4（个）部分；

当n=3时，增加3个，最多将平面分成2+2+3=7（个）部分；

当n=4时，增加4个，最多将平面分成2+2+3+4=11（个）部分；…

所以当有n条直线时，最多将平面分成2+2+3+4+…+n=1+1+2+3+4+…+n=（个）部分.