4.1 指数【导学案学生版】.docVIP

高中数学精选资源

PAGE2/NUMPAGES2

第4章 指数与对数

第01讲指数

目标导航

目标导航

课程标准

重难点

理解有理数指数幂的含义；

掌握指数幂的运算性质．

通过对有理数指数幂a(a0，且a≠1；m，n为整数，且n0)、实数指数幂ax(a0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.

知识精讲

知识精讲

一、n次方根

定义

一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的，其中n1，且n∈N*

性质

n是奇数

a0

x0

x仅有一个值，记为

a0

x0

n是偶数

a0

x有两个值，且互为相反数，记为

a0

x在实数范围内不存在

二、根式

(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做，a叫做.

(2)性质：(n1，且n∈N*)

①()n＝.

②＝

[想一想]

1．正数a的n次方根一定有两个吗？

2．()n与中的字母a的取值范围是否一样？

三、分数指数幂的意义

分数指数幂

正分数指数幂

规定：a＝(a0，m，n∈N*，且n＞1)

负分数指数幂

规定：a＝＝(a0，m，n∈N*，且n1)

0的分数指数幂

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂

四、有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝(a0，r，s∈Q)．

(2)(ar)s＝(a0，r，s∈Q)．

(3)(ab)r＝(a0，b0，r∈Q)．

五、无理数指数幂

无理数指数幂aα(a0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．

[想一想]

1．为什么分数指数幂的底数规定a0?

2．同底数幂相除ar÷as，同次的指数相除分别等于什么？

eq\a\vs4\al([名师点津])

幂指数

定义

底数的取值范围

整数指数

正整数指数

a∈R

零指数

a0＝1

a≠0且a∈R

负整数指数

a－n＝(n∈N*)

a≠0且a∈R

有理数指数

正分数指数

a＝(m，n∈Q*，n＞1，且m，n互质)

n为奇数

a∈R

n为偶数

a≥0

负分数指数

a＝(m，n∈Q*，n＞1，且m，n互质)

n为奇数

a≠0且a∈R

n为偶数

a＞0

无理数指数

当a＞0且x是无理数时，ax也是一个确定的实数

一般规定a＞0

一、n次方根±

二、根指数被开方数

1.不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数；当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数．

2.提示：取值范围不同．式子()n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子中，a∈R.

三、没有意义

四、ar＋sarsarbr

五、1.①当a0时，若n为偶数，m为奇数，则a，a无意义；

②当a＝0时，a0无意义．

2.①ar÷as＝ar－s；②＝.

能力拓展

能力拓展

考法01n次方根的概念

判断关于n次方根的结论应关注两点

(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；

(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．

例1

例1

(2)已知x7＝6，则x＝________.

(3)若有意义，则实数x的取值范围是________．

【跟踪训练】已知m10＝2，则m等于()

A. B．－

C. D．±

考法02利用根式的性质化简求最值

根式化简的思想和注意点

(1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的．

(2)化简根式时需注意：

在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数．

例2(链接教材P105例1)化简与求值：

例2

(1)；

(2)；

(3)；

(4).

【跟踪训练】1．计算＋4＝________.

2．若，则实数a的取值范围为________．

考法03带条件的根式的化简

1.有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．

2.有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．

例3化简(－3x3)．

例3

[跟踪训练]

若nm0，则－等于()

A．2m B．2n

C．－2m D．－2n

考法04根式与分数指数幂的互化

根式与分数指数幂互化的规律

(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．