2.2 充分条件、必要条件、充要条件【导学案学生版】.docVIP

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第2章 常用逻辑用语

第02讲充分条件、必要条件、充要条件

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课程标准

重难点

1、理解充分条件、必要条件、充要条件的定义．

2、会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．

3、能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．

1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与充分条件和必要条件的关系

2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与充要条件的关系

3．熟练判断命题间的关系

4．根据命题关系求参数范围或参数值

知识精讲

知识精讲

充分条件与必要条件

“若p，则q”为真命题

“若p，则q”为假命题

推出关系

p?q

p?q

条件关系

p是q的条件

q是p的条件

p不是q的条件

q不是p的条件

定理关系

判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件

性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件

【特别提醒】

对充分条件和必要条件的理解：

(1)对“推出”的正确理解：对于命题p：∠A＝30°，q：sinA＝.显然p可以推出q，记为p?q，而q是不能推出p的．

(2)若p?q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．

(3)若p?q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．

（4）以下五种表述形式是等价的：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q。

充要条件

(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为条件．

(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件．

【特别提醒】

（1）若p是q的充要条件，则p?q，即命题p和q是两个相互等价的命题。

（2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别是：若p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；若p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

一、充分必要充分必要

二、充要

能力拓展

能力拓展

考法01充分条件的判断

充分条件的判断方法

(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p?q问题．

(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A?B，则p是q的充分条件．

例1下列命题中，p是q的充分条件的是________

例1

①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；

②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；

③p：m－2，q：方程x2－x－m＝0无实根．

【跟踪训练】

“a2且b2”是“a＋b4，ab4”的________条件．

考法02必要条件的判定

(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p?q为真，则p是q的充分条件，若q?p为真，则p是q的必要条件．

(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A?B，则甲是乙的必要条件．

例2在以下各题中，分析p与q的关系：

例2

(1)p：x2且y3，q：x＋y5；

(2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形．

【跟踪训练】

下列p是q的必要条件的是()

A．p：a＝1，q：|a|＝1B．p：－1a1，q：a1

C．p：ab，q：ab＋1D．p：ab，q：ab＋1

考法03根据充分条件或必要条件求参数的范围

充分条件与必要条件的应用技巧

(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．

(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．

例3已知p：实数x满足3axa，其中a0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a

例3

【跟踪训练】

变式1.（变条件）将本例中条件p改为“实数x满足ax3a，其中a0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．

变式2.（变条件）将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．

考