小升初必考专题：余数问题（讲义）2023-2024学年数学六年级下册（含答案）全国通用.docx

余数问题

余数问题

定义：

在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数

性质：

性质1：余数小于除数

性质2：被除数＝除数×商＋余数

除数＝(被除数－余数)÷商；

商＝(被除数－余数)÷除数。

性质3：如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除

性质4：a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和

性质5：a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积

同余定义：

若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm)

同余性质：

性质1：a≡a(modm)，(反身性)

性质2：若a≡b(modm)，那么b≡a(modm)，(对称性)。

性质3：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，那么a≡c(modm)，(传递性)。

性质4：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么a±c≡b±d(modm)，(可加减性)。

性质5：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么ac≡bd(modm)(可乘性)。

性质6：若a≡b(modm)，那么an≡bn(modm)，(其中n为自然数)。

性质7：若ac≡bc(modm)，(c，m)＝1，那么a≡b(modm)，(记号(c，m)表示c与m的最大公约数)。

例

例1

被3除余2，被4除余3，被5除余4的最小的数是()

例

例2

有一个数除以3余数是2，除以5余数是3，那么这个数除以15的余数是()。

例3一个小于

例3

一个小于200的自然数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是多少？

例4

有一串数：1、3、8、22、60、164、448，…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前两个数之和的2倍。那么在这串数中，第2000个数除以9的余数是

例5

求14389除以7的余数。

例6

例6

算式7＋7×7＋…＋计算结果的末两位数字是多少?

例7

有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和为25。这三个余数中最大的一个是多少？

测试题

1．一串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律，第2个数比第1个数多

1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推；那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____。

2．有一个数，甲将其除以8，乙将其除以9。甲所得的商数与乙所得的余数之和为13。试求甲所得的余数。

3．在1，2，3，…29，30这30个自然数中，最多能取出_____个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数。?

4．桌面上原有硬纸片5张。从中取出若干张来，并将每张都任意剪成7张较小的纸片，然后放回桌面，像这样，取出，剪小，放回；再取出，剪小，放回；……是否可能在某次放回后，桌上的纸片数刚好是1991？

5．某班有41名同学，每人手中有10元到50元钱各不相同。他们到书店买书，已知简装书3元一本，精装书4元一本，要求每人都要把自己手中的钱全部用完，并且尽可能多买几本书，那么最后全班一共买了多少本精装书?

6．某校开运动会，打算发给1991位学生每人一瓶汽水，由于商店规定每7个空瓶可换一瓶汽水，所以不必买1991瓶汽水，但是最少要买多少瓶汽水?

答案

1．【分析】

设这串数为a1，a2，a3，…，a1992，…，依题意知

a1＝1

a2＝1＋1

a3＝1＋1＋2

a4＝1＋1＋2＋3

a5＝1＋1＋2＋3＋4

……

a1992＝1＋1＋2＋3＋…＋1991＝1＋9961991

因为996÷5＝199…1，1991÷5＝398…1，所以996×1991的积除以5余数为1，1＋996×1991除以5的余数是2。

因此，这串数左起第1992个数除以5的余数是2。

2．【分析】

设甲所得的商和余数分别为a和b，乙所得的商和余数分别为c和d，于是由题意知8a＋b＝9c＋d，

a＋d＝13。将d＝13－a代入前一式并整理后即得9(a－c)＝13－b上式左端是9的倍数，因此

13－b也是9的倍数。由于b是被8除的余数，所以b介于0与7之间。故b＝4。

3．【分析】

我们把1到30共30个自然数根据除以7所得余数不同情况分为七组。例如，除以7余1的有1，8，15，22，29这五个数，除以7余2的有2，9，16，23，30五个数，除以7余3的有3，10，17，24四个数，…要使取出的数中任意两个不同的数的和都不是7的倍数，那么能被7整除的数只能取1个，取了除以7余1的数，就不能再取除以7余6的数；取了除以7余2的数，就不能再取除以7余5的数；取了除以7余3的数，就不能再取除以7余4的数。为了使取出的个数最多，我们把除以7分别