小学奥数题库《几何》-直线型-蝴蝶模型-5星题（含解析）全国通用版.docx

几何-直线型几何-蝴蝶模型-5星题

课程目标

知识点

考试要求

具体要求

考察频率

蝴蝶模型

C

1.了解蝴蝶模型及其公式

2.能够熟练运用任意四边形蝴蝶模型和梯形蝴蝶模型的来解决复杂的几何知识

少考

知识提要

蝴蝶模型

任意四边形蝴蝶模型

（1）S1:S2=S4:

梯形蝴蝶模型

（1）S2=S4

（2）S1:S2

精选例题

蝴蝶模型

1.如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点．如果△ASM、△MTB与△DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD

【答案】????60

【分析】????连接MN、AC、BD．

由于M是AB的中点，所以△AMN与△BMN的面积相等，而△MTB比△ASM的面积大1，所以△MSN比△MTN的面积大1；又由于N是CD的中点，所以△DMN的面积与△CMN的面积相等，那么△CTN的面积比△DSN的面积大

假设△MTN的面积为a，则△MSN的面积为a+1．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知△ASD的面积为48a+1，

要使这两个三角形的面积为整数，a可以为1，3或7．

由于△ADM的面积为△ABD面积的一半，△BCN的面积为△BCD面积的一半，所以△ADM与△BCN的面积之和为四边形ABCD面积的一半，所以△ADM与

48a+1+6+63

将a=1、3、7分别代入检验，只有a=7时等式成立，所以△MTN的面积为7，△MSN、△ASD、△BTC的面积分别为

四边形ABCD的面积为6+7+8+9×2=60

小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的．

2.下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，(m+n

【答案】????5

【分析】????左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．

如下图所示，在左图中连接EG．设AG与DE的交点为M．

左图中AEGD为长方形，可知△AMD的面积为长方形AEGD面积的14，所以三角形AMD的面积为12×

如上图所示，在右图中连接AC、EF．设AF、EC的交点为N．

可知EF∥AC且AC=2EF．那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的14，所以三角形BEF的面积为12×1

在梯形AEFC中，由于EF:AC=1:2，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：12:1×2:1×2:22=1:2:2:4，所以三角形EFN的面积为38×1

那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为12:13=3:2，即

3.如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE=2ED，则阴影部分的面积为

【答案】????2.7

【分析】????如图，连接OE．

根据蝴蝶定理，ON:ND=S

OM:MA=S

又S△OED=13

4.如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE=2BE，CF=2DF，连接BF、DE，相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG，设正方形MGQA的面积为S1，正方形PCNG的面积为S2

【答案】????9:4

【分析】????连接BD、EF．

设正方形ABCD边长为3，则

CE

所以，

E

因为

E

所以

EF

由梯形蝴蝶定理，得

S

所以，

S

因为

S

所以

S

所以，

S

由于△BGE底边BE上的高即为正方形PCNG

CN

ND

所以

AM

则

S

5.如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积是多少？

【答案】????14

【分析】????本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶模型来解决一般情况．

解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5，因此空白处的总面积为6×1.5÷2×4+2×2=22，阴影部分的面积为6×6-22=14．

解法二：连接两个正方形的