(人教A版必修第一册)高一数学知识梳理与题型分层精练专题3.4函数的奇偶性(基础)(原卷版+解析).docxVIP

专题3.4函数的奇偶性

知识点一函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

关于y轴对称

奇函数

设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数

关于原点对称

知识点二

用奇偶性求如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求(2)要利用已知区间的(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．

知识点三

函数的奇偶性与单调性

1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](ab)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)．

2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](ab)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反．

知识点四

用奇偶性求如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求(2)要利用已知区间的(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．

知识点五函数的奇偶性与单调性

1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](ab)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)．

2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](ab)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反．

函数奇偶性的判断

(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．

(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．

判断下列函数的奇偶性：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）．

判断下列函数的奇偶性

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）．

奇、偶函数的图象及应用

巧用奇、偶函数的图象求解问题

(1)依据：奇函数?图象关于原点对称，偶函数?图象关于y轴对称．

(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题．

已知函数是定义在上的偶函数，当时，．现已画出函数在轴及其右侧的图象，如图所示．

（1）画出函数在轴左侧的图象，并写出函数在上的单调递增区间；

（2）求函数在上的解析式．

利用奇偶性求函数值

利用奇偶性求值的常见类型

(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数．

(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．

已知函数为奇函数，且当时，，则

A． B．2 C． D．3

已知是定义在上的奇函数，且当时，，则等于

A． B．8 C． D．．

已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（2）．

已知函数为奇函数，且当时，，则

A．2 B．1 C．0 D．

部分函数奇偶性求值

已知函数，若（2），则．

已知，且，则（2）等于．

根据函数奇偶性求函数的解析式

(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．

(2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解．

函数为定义在上的奇函数，时，．求的解析式；

已知是定义在上的奇函数，当时，．

（1）求（1），的值；

（2）求的解析式；

已知为上的奇函数，当时，．若，求的解析式；

设是定义在上的偶函数，当时，，求的解析式．

利用函数的单调性与奇偶性解不等式

利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类

(1)利用图象解不等式；

(2)转化为简单不等式求解．

①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式；

②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．

已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．

（1）当时，求函数的解析式；

（2）解不等式．

由奇偶函数定义域的对称性求参数值

若函数是定义在，上的偶函数，则

A． B． C． D．

已知函数的定义域为，且为奇函数，