(苏教版2019必修第二册)高一数学寒假精品课第05讲平面向量(原卷版+解析).docxVIP

第05讲平面向量

【学习目标】

1．了解向量的概念。

2．掌握向量的运算。

3.掌握向量基本定理及坐标表示。

4.能利用向量解决相关应用问题。

【基础知识】

一．位移与向量

1.位移被“方向”和“距离”唯一确定，其中“距离”也被称为位移的大小.一般的，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量（也称为矢量），向量的大小也称为向量的模；只有大小的量称为标量，长度、面积等都是标量。

2.我们用有向线段来直观的表示向量，通常有向线段不带箭头的端点被称为向量的始点（或起点），带箭头的端点被称为向量的终点.始点为A终点为B的有向线段所表示的向量，可以用符号简记为，此时，向量的模用表示.

3.始点和终点相同的向量称为零向量，表示为：，

4.模长等于1的向量称为单位向量，表示为：，

二．向量的相等与平行

1.一般的，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量，向量等于向量，记作，

2.如果两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行，向量与向量平行，记作，，两个向量平行也称为两个向量共线。

注意：

零向量的方向是任意方向，所以规定零向量与任何向量都平行。

三．向量加法的三角形法则

1.向量加法的定义

一般地，平面上任意给定两个向量,在该平面内任取一点A,作，，作出向量,则向量称为向量与的和（也称为向量与的和向量）。

向量与的和向量记作,因此,

2.三角形法则

一般的，当与不共线时，求它们的和可用下图所示．因为此时,正好能构成一个三角形，因此上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则。

3.对任意向量，有

4.向量的模与向量的模之间满足不等式

四．向量加法的平行四边形法则

1.一般地，当两个向量不共线时，可以通过作平行四边形的方法来得到它们的和：如图所示，平面上任意给定两个不共线向量,在该平面内任取一点A,作，，以，为邻边作一个平行四边形,作出向量,因为,因此.

上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则.

2.交换律：对任意向量，都有

五．多个向量相加

1.结合律：对任意向量，都有

2.因为向量的运算满足交换律和结合律，所有有限个向量相加的结果是唯一的，可以调换其中向量的位置，也可以决定相加的顺序。为了得到有限个向量的和，只需将这些向量收尾相接，那么第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和。

六．向量的减法的三角形法则

1.向量加法的定义

一般地，平面上任意给定两个向量,在该平面内任取一点O,作，，作出向量,则向量称为向量与的差（也称为向量与的差向量）。

向量与的差向量记作,因此,

2.三角形法则

一般的，当与不共线时，求它们的差可用下图所示．因为此时,正好能构成一个三角形，因此上述求两向量差的作图方法也常称为向量差法的三角形法则。

3.相反向量

给定一个向量，把与这个向量方向相反大小相等的向量称为相反向量。向量的相反向量记作

4.对任意向量，有

5.向量的减法可看做向量加法的逆运算，即

6.对任意向量，满足不等式

七．数乘向量

1.数乘向量的定义

一般地，给定一个实数与任意一个向量,规定它们的乘积是一个向量，记作,其中：

（1)当且时，的模为,而且的方向如下：

①当时，与的方向相同；

②当时，与的方向相反．

（2)当或时，.

上述实数与向量相乘的运算简称为数乘向量。

由定义不难看出，数乘向量的结果是一个向量，而且这个向量与原来的向量共线（平行），即；数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小。特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个向量的乘积，即.

当和都是实数，且是向量时：是向量，也是向量；是实数，但是向量。可以看出.

2.向量平行

如果存在实数，使得，则。

3.三点共线

一般地，如果存在实数，使得，则与平行且有公共点A，所以，三点共线。

八．向量的加法与数乘向量的混合运算

1.一般地，对于实数和，以及向量，有.

2.一般地，对于实数，以及向量与向量，有.

九.向量的线性运算

向量的加法、减法、数乘向量以及他们的混合运算，统称为向量的线性运算。

九．共线向量基本定理数乘向量

一般地，有如下共线向量基本定理：

如果且,则存在唯一的实数入，使得.

在共线向量基本定理中：

（1)时，通常称为能用表示。

（2)其中的“唯一”指的是，如果还有,则有.

这是因为：由可知,如果,则,与已知矛盾，所以

,即.

十．平面向量基本定理

一般地，有如下平面向量基本定理：

如果平面内两个向量与不共线，则对该平面内任意一个向量,存在唯一的实数对,使得

.

平面向量基本定理中，当与不共线时，“唯一的实数对”指的是用表示时，表达式唯一，即如果

,那么.

基底：平面向量基本定理是说，在给定的平面内，当向量与不共线时，任意一个向量,都可以写成与的线性运算（简称为用与表示