重难点26 巧解圆锥曲线的离心率问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.pdf

重难点26巧解圆锥曲线的离心率问题【八大题型】

【新高考专用】

【题型1利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】2

【题型2利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】3

【题型3利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】3

【题型4利用正、余弦定理求离心率或其范围】4

【题型5利用基本不等式求离心率的范围】5

【题型6椭圆与双曲线综合的离心率问题】5

【题型7函数法求离心率或其范围】6

【题型8坐标法求离心率或其范围】7

1、巧解圆锥曲线的离心率问题

从近几年的高考情况来看，圆锥曲线的离心率或其取值范围问题是高考的热点题型，主要以选择题或

填空题的形式考查，难度不大；对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何

关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.

【知识点1圆锥曲线的离心率】

1．椭圆的离心率

(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e.

(2)离心率的范围：0e1.

(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.

当e越接近于1时，c越接近于a，从而b越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接

近于0，从而b越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当ab时，c0，这时两个焦点重合，

图形变为圆，它的方程为.

2．求椭圆离心率或其取值范围的方法

解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下:

(1)直接求出a,c，利用离心率公式求解.

(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解.

(3)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得

e.

3．双曲线的离心率

(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：e1.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e.

4．求双曲线离心率或其取值范围的方法

(1)直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.

(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)

求解.

5．抛物线的离心率

抛物线的离心率e1.

【知识点2离心率的范围问题的求解方法】

1．不等式法求离心率的范围

(1)利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解.

(2)利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的

斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.

(3)利用题目条件中的不等关系，建立不等式(不等式组)求解.

(4)利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不

等式建立不等关系进行求解.

2．函数法求离心率的范围

(1)根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数

关系式；

(2)结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域；

(3)利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围.

3．坐标法求离心率的范围

根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可.

【题型1利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】

【例1】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为4,0,−4,0，点4,−6在该双

曲线上，则该双曲线的离心率为（）