专题5.2 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.pdfVIP

专题5.2平面向量基本定理及坐标表示【六大题型】

【新高考专用】

【题型1平面向量基本定理的应用】3

【题型2利用平面向量基本定理求参数】4

【题型3平面向量的坐标运算】5

【题型4利用向量共线求参数】5

【题型5利用向量共线求向量或点的坐标】6

【题型6由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】6

1、平面向量基本定理及坐标表示

考点要求真题统计考情分析

平面向量是高考的热点内容，属于

(1)了解平面向量基本定2022年全国乙卷（文数）：第高考的必考内容从近几年的高考情况.

理及其意义3题，5分来看，平面向量基本定理、平面向量的

掌握平面向量的正交年新高考全国卷：第坐标运算是高考的热点内容，主要以选

(2)2022I3

分解及其坐标表示题，5分择题、填空题的形式考查，难度较易；

会用坐标表示平面向年天津卷：第题，有时也会与三角函数、解析几何结合出

(3)2023145

量的加法、减法与数乘运分现在综合性大题中，难度中等.学生在高

算2024年全国甲卷（理数）：第考复习中应注意加强对向量的线性运算

(4)理解用坐标表示的平9题，5分法则、向量共线与垂直的条件的理解，

面向量共线的条件年上海卷：第题，分熟记平面向量的相关公式，灵活进行求

202455

解.

【知识点1平面向量基本定理的探究】

1．平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，

，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

(2)定理的实质

由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量

都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.

2．应用平面向量基本定理求向量的实质

应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运

算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.

3．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：

用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向

量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分

解都是唯一的.

【知识点2平面向量坐标运算及其解题策略】

1．平面向量的正交分解及坐标表示

(1)正交分解

不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量

作正交分解.

(2)向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基

底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得x+y.这样，

平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作(x,y)①.其中x

叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.

显然，(1,0)，(0,1)，(0,0).