工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案(全).doc

第一章行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:

(1);

解

=2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8

-0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1)

=-24+8+16-4=-4.

(2)?

解

=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc

=3abc-a3-b3-c3

(3);

解

=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-

?(a-b)(b-c)(c-a).

(4).

解

=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3

=3xy(x+y)-y3-3x2y-x3-y3-x3

=-2(x3+y3).

2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:

证明

=(a-b)3.

(2);

证明

.

(3);

证明

(c4-c3,c3-c2,c

(c4-c3,c3-c

.

(4)

=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);

证明

=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).

(5)=xn+a1xn-1+×××+an-1x+an.

证明用数学归纳法证明?

当n=2时,,命题成立.

假设对于(n-1)阶行列式命题成立,即

Dn-1=xn-1+a1xn-2+×××+an-2x+an-1,

则Dn按第一列展开?有

=xDn-1+an=xn+a1xn-1+×××+an-1x+an.

因此,对于n阶行列式命题成立.

6.设n阶行列式D=det(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转,依次得

,,,

证明,D3=D.

证明因为D=det(aij),所以

?

同理可证

.

.

7.计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):

(1),其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;

解

(按第n行展开)

=an-an-2=an-2(a2-1).

(2);

解将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得

?

再将各列都加到第一列上,得

=[x+(n-1)a](x-a)n-1.

(3);

解根据第6题结果?有

此行列式为范德蒙德行列式?

.

(4);

解

(按第1行展开)

?

再按最后一行展开得递推公式

D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2,即D2n=(andn-bncn)D2n-2?

于是.

而?

所以?

(5)D=det(aij),其中aij=|i-j|;

解aij=|i-j|,

?(-1)n-1(n-1)2n-2.

(6),其中a1a2×××an10.

解

?

8.用克莱姆法则解下列方程组:

(1)?

解因为

?

??

??

所以,,,.

(2