第07讲 抛物线及其性质（八大题型）（讲义）（含答案解析）.docx

第07讲抛物线及其性质

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：抛物线的定义 4

知识点2：抛物线的方程、图形及性质 4

解题方法总结 5

题型一：抛物线的定义与标准方程 7

题型二：抛物线的轨迹方程 10

题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 13

题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 21

题型五：焦半径问题 27

题型六：抛物线的几何性质 33

题型七：抛物线焦点弦的性质 39

题型八：抛物线的实际应用 50

04真题练习·命题洞见 54

05课本典例·高考素材 57

06易错分析·答题模板 61

易错点：抛物线焦点位置考虑不周全 61

答题模板：抛物线的标准方程 61

考点要求

考题统计

考情分析

（1）抛物线的定义及其标准方程

（2）抛物线的简单几何性质

2024年北京卷第11题，5分

2024年天津卷第12题，5分

2024年II卷第10题，6分

2023年北京卷第6题，5分

2023年II卷第10题，5分

2023年乙卷（文）第13题，5分

2023年I卷第22题，12分

从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁．抛物线是圆雉曲线的重要内容，新高考主要考查抛物线的定义、方程、焦点、准线及其几何性质的应用．

复习目标：

（1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．

（2）掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．

（3）了解抛物线的简单应用

知识点1：抛物线的定义

平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．

【诊断自测】（2024·全国·模拟预测）抛物线的焦点到准线的距离为（????）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】A

【解析】由题得，

故焦点到准线的距离为2，

故选：A．

知识点2：抛物线的方程、图形及性质

抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向

图形

标准

方程

顶点

范围

，

，

，

，

对称轴

轴

轴

焦点

离心率

准线方程

焦半径

【诊断自测】焦点在直线上的抛物线的标准方程为（????）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】C

【解析】直线与坐标轴的交点为以及，

所以抛物线的焦点为或，

当焦点为，此时抛物线方程为，

当焦点为时，此时抛物线的方程为，

故选：C

解题方法总结

1、点与抛物线的关系

（1）在抛物线内（含焦点）．

（2）在抛物线上．

（3）在抛物线外．

2、焦半径

抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．

3、的几何意义

为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．

4、焦点弦若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：

（1）．

（2）．

（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．

焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．

（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．

5、抛物线的弦

若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则

（1）弦长公式：

（2）

（3）直线AB的方程为

（4）线段AB的垂直平分线方程为

6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）

（1）焦点为，准线为

（2）焦点为，准线为

如，即，焦点为，准线方程为

7、参数方程

的参数方程为（参数）

8、切线方程和切点弦方程

抛物线的切线方程为，为切点

切点弦方程为，点在抛物线外

与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．

9、抛物线的通径

过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．

对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．

10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：

11、焦点弦的常考性质

已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．

（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；

（2），

（3）；

（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上

题型一：抛物线的定义与标准方程

【典例1-1】（2024·四川南充·三模）已知为抛物线上一点，点到抛物线焦点的距离为，则（????）

A．2 B．1 C． D．4

【答案】A

【解析】因为到抛物线焦点的距离为，

所以由抛物线定义知，，解得，故选：A.

【典例1-2】已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（