重难点15 平面向量中的最值与范围问题（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.pdf

重难点15平面向量中的最值与范围问题【十大题型】

【新高考专用】

【题型1定义法求最值（范围）问题】4

【题型2基底法求最值（范围）问题】6

【题型3坐标法求最值（范围）问题】10

【题型4与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】14

【题型5与数量积有关的最值（范围）问题】16

【题型6与模有关的最值（范围）问题】21

【题型7平面向量中参数的最值（范围）问题】23

【题型8极化恒等式】26

【题型9矩形大法】30

【题型10等和(高)线定理】33

1、平面向量中的最值与范围问题

平面向量中的范围、最值问题是高考的热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的

交汇组合；其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系

数的范围等.

【知识点1平面向量中的最值与范围问题的解题策略】

1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：

(1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图

形的特征直接进行判断；

(2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方

程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．

2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法：

(1)定义法

①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；

②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论.

(2)坐标法

①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标；

②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；

③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）.

(3)基底法

①适当选取一组基底，利用基底转化向量；

②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解；

③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围），

即可得出结论.

【知识点2极化恒等式】

1．极化恒等式的证明过程与几何意义

(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：



2222

|ab||ab|2(|a||b|).



证明：不妨设ABa,ADb，则，，

ACabDBab

2

2222

ACACaba2abb①，

2

2222

DBDBaba2abb②，

①②两式相加得：



222222

ACDB2ab2ABAD.



(2)极化恒等式：

上面两式相减，得：122————极化恒等式

abab