重难点19 立体几何中的截面、交线问题（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.pdf

重难点19立体几何中的截面、交线问题【七大题型】

【新高考专用】

【题型1截面作图】2

【题型2截面图形的形状判断】7

【题型3截面图形的周长或面积问题】12

【题型4球的截面问题】16

【题型5截面切割几何体的体积、表面积问题】18

【题型6交线长度、轨迹问题】21

【题型7截面的范围与最值问题】25

1、立体几何中的截面、交线问题

“截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，

给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、周长、扇形弧长、面

积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.

【知识点1立体几何中的截面问题】

1．作截面的几种方法

(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找

交线的过程.

(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.

(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直

线的平行线找到几何体与截面的交线.

2．球的截面

(1)球的截面形状

①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；

②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.

(2)球的截面的性质

①球心和截面圆心的连线垂直于截面；

②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：.

图形解释如下：

在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O为圆心的截面的半径

为r，OOd.则在Rt△OOC中，有，即.

【知识点2立体几何中的截面、交线问题的解题策略】

1．立体几何截面问题的求解方法

(1)坐标法：所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，进行求解.

(2)几何法：从几何视角人手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关

线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解.

2．截面、交线问题的解题策略

(1)作截面应遵循的三个原则：

①在同一平面上的两点可引直线；

②凡是相交的直线都要画出它们的交点；

③凡是相交的平面都要画出它们的交线.

(2)作交线的方法有如下两种：

①利用基本事实3作交线；

②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.

【题型1截面作图】

∥⊥=2=4=2

【例1】（2024·河南新乡·三模）在如图所示的几何体中，，平面，，，

=1∠=60°

，.

（1）证明：⊥平面；

（2）过点作一平行于平面的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面之间的几何

体的体积.

【解题思路】分析（1）由余弦定理结合勾股定理可证明⊥利用线面垂直的性质可证明⊥，

⊥,,

由线面垂直的判定定理可得平面；（2）取的中点，的中点，连接，截面

⊥⊥

即为所求，由（1）可知，平面，平面，由“分割法”利用棱锥的体积公式可得结果.

22