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重难点07双变量问题【九大题型】
【新高考专用】
TOC\o1-3\h\u
【题型1双变量单调性问题】 2
【题型2双变量的最值(取值范围)问题】 7
【题型3双变量问题转化为单变量问题】 11
【题型4与极值点有关的双变量问题】 16
【题型5与零点有关的双变量问题】 21
【题型6双变量的恒成立问题】 25
【题型7双变量的不等式证明问题】 31
【题型8与切线有关的双变量问题】 37
【题型9双变量的新定义问题】 42
1、双变量问题
导数是高中数学的重要考查内容,是高考常考的热点内容,而导数中的双变量问题在高考中占有很重要的地位,主要涉及双变量的恒成立问题、双参数不等式问题以及双变量的不等式证明等问题,一般作为解答题的压轴题出现,难度较大,需要灵活求解.
【知识点1导数中的双变量问题】
1.导数中的双变量问题
导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现,要想解决双变量问题,就需要掌握破解双参数不等式的方法:
一是转化,即由已知条件入手,寻找双参数满足的关系式,并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式;
二是巧构函数,再借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值;
三是回归双参的不等式的证明,把所求的最值应用到双参不等式,即可证得结果.
【知识点2导数中的双变量问题的解题策略】
1.转化为同源函数解决双变量问题
此类问题一般是给出含有x1,x2,f(x1),f(x2)的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为结构形式相同的代数式,即转化为同源函数,可利用该函数单调性求解.
2.整体代换解决双变量问题
(1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a,得到仅含有x1,x2的式子.
(2)与极值点x1,x2有关的双变量问题:一般是根据x1,x2是方程f(x)=0的两个根,确定x1,x2的关系,再通过消元转化为只含有x1或x2的关系式,再构造函数解题,即把所给条件转化为x1,x2的齐次式,然后转化为关于的函数,把看作一个变量进行整体代换,从而把二元函数转化为一元函数来解决问题.
3.构造函数解决双变量问题的答题模板
第一步:分析题意,探究两变量的关系;
第二步:合二为一,变为单变量不等式;
第三步:构造函数;
第四步:判断新函数的单调性或求新函数的最值,进而解决问题;
第五步:反思回顾解题过程,规范解题步骤.
【题型1双变量单调性问题】
【例1】(23-24高二下·江苏常州·期中)已知函数fx=xlnx?12ax2,a∈R
(1)若gx=f(x)x,求函数
(2)若对于任意的x1,x2∈(0,+∞)
【解题思路】(1)求导,分a≤0,2a≥e,1
(2)题意转化为不妨设x1x2,fx1?x1fx2?x2
【解答过程】(1)因为gx=lnx?
①当a≤0时,因为x∈1,e,所以
所以函数gx在1,e上单调递增,则
②当2a≥e,即0a≤2e
所以函数gx在1,e上单调递增,则
③当12a
x∈1,2a,g′x
所以函数gx在1,2a
则gxmax
④当02a≤1,即a≥2时,x∈1,e,g′x
综上,gx
(2)对于任意的x1,x2∈(0,+
不妨设x1x2
令Fx=fx
当x1x2时,Fx
所以F′x=f′x?1=
令gx=ln
所以当x∈0,e时,g′x0,g
所以g(x)max=g
【变式1-1】(23-24高二下·上海·期末)已知fx
(1)求曲线y=fx在x=1
(2)若对任意的x1,x2∈0,+∞
【解题思路】(1)先求导函数,再得出斜率写出切线方程即可;
(2)把恒成立转化为函数单调性,再根据单调性转化为最值问题求解即得
【解答过程】(1)由题意知f
则曲线y=fx在x=1处的切线方程为
(2)不妨设x1
f
?f
则设gx=fx?mx
则g′
则2mx≤1?
设?
则当x∈e2,+∞时,?′
递减,则?
则实数m的取值范围为?∞
【变式1-2】(23-24高二下·上海·期末)已知函数f
(1)当a=1时,求函数fx
(2)若fx1?fx2
【解题思路】(1)求出函数的导数,根据导数与极值的关系,即可求得答案;
(2)将fx1?fx2x1?x2?2
【解答过程】(1)当a=1时,fx=x
则f′
令f′x0,则0x12或x1
则fx在0,12
故函数fx的极大值为f
(2)因为fx1?f
所以fx1+2
令m(x)=f(x)+2x,则mx=ax
则原问题转化为m(x)在(0,+
又m′
当a=0时,m′x=1x
当a≠0时,需m′x≥0
即2ax2?ax+1≥0
对于y=2ax2?ax+1,图象过定点0,1
故要使得2ax2?ax+1≥0在(0,+∞)
解得0a≤8,
综合可得0≤a≤8,即a的取值
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