福建省三明第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学Word版无答案.docxVIP

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三明一中2023-2024学年高一下学期半期考

数学试卷

（考试时间：120分钟满分：150分）

第Ⅰ卷（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.

1.已知复数满足，则的实部为（）

A B. C. D.

2.已知在中，，，，则（）

A.1 B. C. D.

3.的斜二测直观图如图所示，则的面积是（）

A. B. C. D.4

4.若直线不平行于平面，且，则下列说法正确的是（）

A.内存在一条直线与平行 B.内不存在与平行的直线

C.内所有直线与异面 D.内所有直线与相交

5.如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（）

A.四点共面 B.

C.三线共点 D.

6.中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，这些古建筑除了历史背景方面的研究价值外，还有着几何结构的研究意义.例如古建筑屋顶的结构形式就分为：圆锥形、三角锥形、四角锥形、八角锥形等，已知某古建筑的屋顶可近似看作一个圆锥，其母线长为5m，底面的半径为3m，则该屋顶的侧面积约为（）

A.m2 B.m2 C.m2 D.m2

7.在中，，，，若满足条件的有且仅有一个，则的取值范围是（）

A B.

C. D.

8.如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（）

A.2 B. C. D.1

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9.下列结论正确的是（）

A.在正方体中，直线与是异面直线；

B.梯形的直观图仍是梯形；

C.在正方体上取4个顶点，可以得到一个四面体，使得它的每个面都是等边三角形；

D.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．

10.在复平面内，复数对应的点为A，复数对应的点为，下列说法正确的是（）

A B.

C.向量对应的复数是1 D.

11.已知平行四边形的面积为，且，则（）

A.的最小值为2

B.的最小值为

C.当在上的投影向量为时，

D.当在上的投影向量为时，

第Ⅱ卷（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知，则向量的夹角的余弦值为______.

13.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，此圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，若在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球（溢出部分水），则“阿氏球柱体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为______．

14.如图，是三个边长为2等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有5个不同的点，设，则_____________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量，，求：

（1）；

（2）；

（3）.

16.1707年4月15日，欧拉出生在瑞士巴塞尔一个牧师家庭，自幼受父亲的熏陶，喜爱数学.13岁入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位.是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出公式：复数：（是虚数单位）．已知复数，，．

（1）当时，求的值；

（2）当时，若且，求的值．

17.已知的角、、所对的边分别是，，，设向量，，.

（1）若，判断的形状；

（2）若，边长，角，求的面积.

18.如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）若为侧棱的中点，求证：平面；

（3）设平面平面，求证：.

19.如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，过，，三点的平面与此正方体的面相交，交线围成一个多边形.

（1）在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）；

（2）平面将正方体分成两部分，求这两部分体积之比（其中）；

（3）若点是侧面内的动点，且，当最小时，求三棱锥的外接球的表面积.