小学奥数题库《数论》因数和倍数-倍数-5星题（含解析）全国通用版.docx

数论-因数和倍数-倍数-5星题

课程目标

知识点

考试要求

具体要求

考察频率

倍数

C

1、理解倍数的定义

2、能够准确写出一个数的较小的倍数。

少考

知识提要

倍数

定义

对于整数a和b，如果a∣b，我们就称b是a

精选例题

倍数

1.从1～999中选出连续6个自然数，使得它们的乘积的末尾恰有4个0，一共有

【答案】????17

【分析】????连续的6个自然数中，必有3个偶数，这3个偶数是3个连续偶数，其中至少有1个是4的倍数，那么这3个偶数的积肯定是24的倍数，所以任意的连续6个自然数的积都是24

另外，连续的6个自然数中，至少有一个5的倍数，至多有两个5的倍数：

⑴如果其中只有1个5的倍数，由于末尾要有4个0，那么这个5的倍数应是54的倍数，即是625的倍数，又小于1000，只能是625，那么这6个数可以是621～626，622～627，623～628

⑵如果其中有2个5的倍数，那么只能是这连续6个自然数中的最大数和最小数都是5的倍数．由于这两个5的倍数不可能同时是25的倍数，所以其中必有一个是53=125的倍数，可能为125，250，375，500，625，750，875．对于其中除625外的6个数，每个数都可以是这连续6个自然数中的最大数和最小数，所以对这6个数，每个数都有2种取法，共有

种取法；而对于625来说，与另一个5的倍数相乘，将会是55的倍数，要想使末尾恰有4个0，则这连续6个自然数的乘积要是24的倍数但又不是25的倍数．检验620～625和625～630这两组的连续6个自然数，后者满足题意，前者则不合题意．所以有2个

根据加法原理，共有4+13=17种选法．

小结：本题容易出错的地方在于容易忽略掉625～630这一组数，因为在平常做题中面对此类问题基本上都是2比5多的情况，所以对于2比5

2.小于200且与200互质的所有自然数的和是?．

【答案】????8000

【分析】????200分解质因数得200=23×52，所以小于200且与200互质的数不能有质因数2或者5．而200以内2的倍数有2、4、6

2+4+?+198=9900;

200以内5的倍数有5、10、15、?、195，和为

5+10+?+195=3900;

既是2的倍数又是5的倍数有10、12、?、190，和为

10+20+?+190=1900;

所以所求数和为

1+2+3+?+199-9900-3900+1900=8000.

3.非零数字a，b，c能组成6个没有重复数字的三位数，且这6个数的和是5994，则这6个数中的任意一个数都?被9整除（填”能”或“不能”）．

【答案】????不能．

【分析】????a，b，c组成的所有三位数都是由a，b，c三个数字组成，且a，b，c在个位、十位、百位都出现两次，所以和应该为：

(

a

a

与题意矛盾，故不能．

4.某班共有30名学生去看电影，他们的学号依次为1,2,??,30；他们手中的电影票恰好为某排的1号，2号，??，30号．现在按如下要求将电影票发给这些同学：对于任意两人甲、乙，若甲的学号能被乙的学号整除，则甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除．那么电影票共有?种不同的发放方式．

【答案】????48

【分析】????1号学生有29人是其倍数，故1号学生只能拿1号电影票；

2号学生有14人是其倍数，故2号学生只能拿2号电影票；

3号学生有9人是其倍数，故3号学生只能拿3号电影票；

4号学生有6人是其倍数，故4号学生只能拿4号电影票；

5号学生有5人是其倍数，故5号学生只能拿5号电影票；

6号学生有4人是其倍数，故6号学生只能拿6号电影票；

7号学生有3人是其倍数，故7号学生只能拿7号电影票；

8号学生必须是2号学生（2）的倍数，也必须是4号学生（4）的倍数，同时有2人是其倍数，综上，8号学生只能拿8号电影票；

9号学生必须是3号学生（3）的倍数，还不能是6，同时有2人是其倍数，综上，9号学生只能拿9号电影票；

10号学生必须是2号学生（2）的倍数，也必须是5号学生（5）的倍数，同时有2人是其倍