(人教A版必修第一册)高一数学知识梳理与题型分层精练专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式(原卷版+解析).docxVIP

专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式

知识点一一元二次不等式的概念

定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式

一般形式

ax2＋bx＋c0，ax2＋bx＋c0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数

知识点二二次函数的零点

一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．

知识点三二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

判别式Δ＝b2－4ac

Δ0

Δ＝0

Δ0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根

有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)

有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实数根

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|xx1，或xx2}

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))

R

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|x1xx2}

?

?

知识点四一元二次不等式恒成立问题

1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即

ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0；))

ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0.))

2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．

知识点五利用不等式解决实际问题的一般步骤

1．选取合适的字母表示题目中的未知数．

2．由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)．

3．求解所列出的不等式(组)．

4．结合题目的实际意义确定答案．

一元二次不等式的解法

(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．

(2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．

(3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．

(4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．

求下列不等式的解集：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

解下列不等式．

（1）；

（2）．

解下列不等式：

（1）；

（2）．

解下列一元二次不等式：

（1）；

（2）．

含参数的一元二次不等式的解法

在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：

(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数

(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ0).

(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：.

对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．

解关于的不等式．

解关于的不等式．

已知不等式的解集为．

（1）求，的值；

（2）解不等式．

解关于的不等式．

二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用

已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循

(1)根据解集来判断二次项系数的符号．

(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式．

(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．

二次不等式的解集为，则的值为

A． B．5 C． D．6

关于的不等式，解集为，则不等式的解集为

A． B． C． D．

如果关于的不等式的解集是，那么等于

A． B．81 C． D．64

关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是

A． B．

C． D．

不等式的恒成立问题

一元二次不等式恒成立问题的解法

(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号．

(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．

不等式的解集为，则实数的取值范围是

A．， B．， C． D．，

若关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是．

已知关于的不等式．

（1）若不等式的解集为，或，求的值；

（2）若不等式的解集是，求的取值范围．

已知不等式的解集是．

（1）求常数的值；

（2）若关于的不等式的解集为，求的取值范围．

1．不等式的解集是

A．或 B．或 C．或 D．

2．不等式的解集为

A． B．，，

C．， D．，，

3．不等式的解集是

A．或 B．或

C． D．

4．设，则关于的不等式的解集是

A． B．

C． D．

5．已知关于的不等式，．

（Ⅰ）若不等式