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《平面向量的应用举例》教学设计

教学设计

复习导入

想一想：平面向量可以解决哪些常见的平面几何问题？

教师提出问题，学生思考讨论并给予回答，教师总结.

师：（1）解决有关夹角、长度等的计算或度量问题.

（2）解决直线平行、垂直、三点共线等位置关系.

二、新知探究

1.提出问题：

（1）平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，如图，你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？

（2）你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法？

（3）你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？

活动：（1）教师先引导学生猜想菱形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系，然后利用类比的思想方法，猜想平行四边形有没有类似的关系.指导学生猜想出结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和

（2）教师引导学生探究证明方法，并点拨学生对各种方法分析比较平行四边形是学生熟悉的一种重要的几何图形，在平面几何的学习中，学生得到了它的许多性质，有些性质得出比较麻烦，有些性质得出比较简单让学生体会研究几何问题可以采取不同的方法，这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法等

证明：方法一：如图

∴AF=BE

方法二：如图

以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立平面直角坐标系

因为平行四边形对角线平行且相等，考虑到向量关系DB=AB-AD,AC

即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

以上用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边长度之间的关系，在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，常常考虑用向量的数量积通过以上推导学生可以发现，由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，它把一个思辨过程变成了一个算法过程，学生可按一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度，同时也为计算机技术的运用提供了方便教学时应引导学生体会向量带来的优越性

（3）至此，为解决重点问题所作的铺垫已经完成，向前发展可以说水到渠成教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较，讨论认清向量方法的优越性，适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤由于平面几何经常涉及距离（线段长度）、角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”，即：

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离夹角等问题；

③把运算结果“翻译”成几何关系讨论结果：

（1）能.

（2）能想出至少三种证明方法.

（3）略.

2.应用示例

例1如图，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：DE//BC,DE=

分析：我们在初中证明过这个结论，证明中要加辅助线，有一定难度.如果用向量方法证明这个结论，可以取{AB,

证明：如图，因为DE是△ABC的中位线，所以

例2在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力你能从数学的角度解释这种现象吗？

分析：不妨以两人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角者之间的关系，就可以获得问题的数学解释解：先来看共提旅行包的情况如图，设作用在旅行包上的两个拉力分别为F1,F2.为方便起见，我们不妨设F1=F

由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道

F

这里，|G|为定值，分析上面的式子，我们发现，当θ由0逐渐变大到π时，θ2由0逐渐变大到π2,cos?θ2，的值由大逐渐

同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.

点评本例是日常生活中经常遇到的问题，学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图，启发学生将物理现象转化成数学模型，从数学角度进行解释，这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型，为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现，这是一个很简单的向量问题，这也是向量工具优越性的具体体现.

思考：（1）当为何值时，F1

（2）F1能等于G

生思考讨论，得出结论.

用向量解决物