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《数量积的坐标表示及其计算》教学设计二

教学设计

复习导入

1.a与b的数量积的定义是什么？

2.向量的运算有几种？分别应怎样计算？用坐标表呢？

二、问题探究

二、问题探究

1.平面向量的数量积能否用坐标表示？

2已知两个非零向量a=x1,y1

3怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？

4.你能否根据所学知识推导出向量的模、两点距离和两向量夹角的坐标表示公式？

活动：教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且也知道了向量的加、减以及向量数乘线性运算都可以用坐标来表示,两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,并给予必要的提示和补充推导过程如下：

∵a=

三、总结定理

教师给出结论性的总结,由此可归纳如下：

1.平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

2.向量模的坐标表示

若

如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为

a=

3.两向量垂直的坐标表示

设a=x1,

4两向量夹角的坐标表示

设a,b都是非零向量,a=x1,y1,b=x2,

cos

四、例题分析

例1若点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC是

活动：教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决判断平面图形的形状问题,判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角可先作出草图,进行直观判定,再去证明在证明时若平面图形中有两条边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关；若三角形的两条边所在的向量模相等或者两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者直角三角形教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.

解：如图,在平面直角坐标系中标出A（1,2）,B（2,3）,C（-2,5）三点,我们发现△ABC是直角三角形.下面给出证明:

∵

∴△ABC是直角三角形.

点评本题考查的是向量数量积坐标表示的应用,利用向量垂直的条件和模的公式来判断三角形的形状,当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先可作出草图,得到直观判定,然后对结论给出充分的证明.

例2（1）已知三点A（2,-2）,B（5,1）,C（1,4）,求∠

(2)

活动：教师引导学生利用向量的坐标运算求出两向量a=x1,y1与b=x2,

求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0?θ?π,学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.

解

∴

∴

(2)

设

cos

又

点评本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高.

例3

1

(2)

活动：对平面中的两向量a=x1,y1与b=x2,y2,要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x1x2

点评本題主要考查学生对公式的掌握情况,考查学生能否熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,能否熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.

五、课堂检测

1.教材第39页练习第1～3题.

2.已知A(3,2),B(-1,-1),若点Px,-12

六、课堂小结

1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示、向量的模、两向量的夹角、向量垂直的条件其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.

2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法、待定系数法等.

六、作业布置

教材第40页习题1.5第6,7,8题.

板书设计

数量积的坐标表示及其计算

一、复习导入

二、问题探究

问题1~4

三、总结定理

1.a?b=

3.两向量垂直的判定：

4.夹角公式：

cos

四、例题分析

例1

例2

例3

五、课堂检测

六、课堂小结

七、作业布置

教学研讨

由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用,是对平面向量几何意义的综合研究,因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高,这符合新课程理念,符合课标要求.

本案例主要采用学生自主学习来完成,主要通过问题来贯穿本节内容,通过讨论、总结,得出问题答案,整个过程