重难点13 极化恒等式与等和（高）线定理（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.pdf

重难点13极化恒等式与等和（高）线定理【四大题型】

【新高考专用】

【题型1利用极化恒等式求值】3

【题型2利用极化恒等式求最值（范围）】4

【题型3利用等和线求基底系数和的值】4

【题型4利用等和线求基底系数和的最值（范围）】5

1、极化恒等式与等和（高）线定理

极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型

和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系；等和（高）线定理是平面向量

中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值（范围）中有着重要作用.

【知识点1极化恒等式】

1．极化恒等式的证明过程与几何意义

(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：



2222

|ab||ab|2(|a||b|).



证明：不妨设ABa,ADb，则，，

ACabDBab

2

2222

ACACaba2abb①，

2

2222

DBDBaba2abb②，

①②两式相加得：



222222

ACDB2ab2ABAD.



(2)极化恒等式：

122

上面两式相减，得：abab————极化恒等式



4

平行四边形模式：122.

ab4ACDB

2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平

1

方差的．

4

(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角

1122

线长”平方差的，即abab(如图).



44

(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即

(M为BC的中点)(如图).

极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.

【知识点2等和(高)线定理】

1．等和(高)线定理

(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三