重难点23 与圆有关的最值与范围问题（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.pdf

重难点23与圆有关的最值与范围问题【十大题型】

【新高考专用】

【题型1斜率型最值（范围）问题】2

【题型2直线型最值（范围）问题】2

【题型3定点到圆上点的最值（范围）】3

【题型4圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】4

【题型5过圆内定点的弦长最值（范围）问题】4

【题型6圆的切线长度最值（范围）问题】5

【题型7周长面积型最值（范围）问题】5

【题型8数量积型最值（范围）问题】6

【题型9坐标、角度型最值（范围）问题】6

【题型10长度型最值（范围）问题】7

1、与圆有关的最值与范围问题

从近几年的高考情况来看，与圆有关的最值与范围问题是高考的热点问题，由于圆既能与平面几何相

联系，又能与圆锥曲线相结合，命题方式比较灵活，故与圆相关的最值与范围问题备受命题者的青睐.此类

问题考查形式多样，对应的解题方法也是多种多样，需要灵活求解.

【知识点1与距离有关的最值问题】

在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离

最小、最大、范围等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想进行求解得到相关结论.

1．圆上的点到定点的距离最值问题

一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值.

2．圆上的点到直线的距离最值问题

已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为：，距离的最大值为：.

【知识点2利用代数法的几何意义求最值】

1．利用代数法的几何意义求最值

(1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

(2)形如tax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

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(3)形如m(x-a)+(y-b)的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题.

【知识点3切线长度最值问题】

1．圆的切线长度最值问题

(1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；

(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.

【知识点4弦长最值问题】

1．过圆内定点的弦长最值问题

已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.

【知识点5解决与圆有关的最值与范围问题的常用方法】

1．与圆有关的最值与范围问题的解题方法

(1)数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借

助数形结合思想求解.

(2)建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参

数法、配方法、判别式法等进行求解.

(3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a·b或者a+b的表

达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定

三相等”的验证.

(4)多与圆心联系，转化为圆心问题.

(5)参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解.

【题型1斜率型最值（范围）问题】

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【例1】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知为圆(−1)+(−1)=1上任意一点，则

1

的最大值为（）

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A．B．−C．1+D．1−

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