重难点24 隐圆与蒙日圆问题（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.pdf

重难点24隐圆与蒙日圆问题【六大题型】

【新高考专用】

【题型1隐圆类型一：到定点的距离等于定长】2

【题型2隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值】5

【题型3隐圆类型三：到两定点的夹角为直角】6

【题型4隐圆类型四：定弦定角、数量积定值】9

【题型5阿波罗尼斯圆】12

【题型6蒙日圆】14

1、隐圆与蒙日圆问题

从近几年的高考情况来看，在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及隐圆、蒙日圆，

这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档，需要灵活求

解.

【知识点1隐圆与阿波罗尼斯圆】

1．隐圆问题

在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，

从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”.

2．隐圆问题的几大类型

(1)隐圆类型一：到定点的距离等于定长；

(2)隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值；

(3)隐圆类型三：到两定点的夹角为直角；

(4)隐圆类型四：对角互补、数量积定值；

(5)隐圆类型五：阿波罗尼斯圆.

3．阿波罗尼斯圆

“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a,0)，B(a,0)(a0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是

以为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.

【知识点2蒙日圆】

1．蒙日圆

在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆

的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.

设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点，如图.

【题型1隐圆类型一：到定点的距离等于定长】

:=+5∈:+−+4=0∈

【例1】（2024·全国·二模）已知直线1与直线2相交于点，且

3

点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（）

A．−22−3,−22−1

B．−22−3,22−1

C．−22−3,−22−1∪22+1,22+3

D．−22−3,−22−1∪22−3,22−1

【解题思路】根据给定条件，求出点的方程，再利用两圆有公共点列出不等式求解即得.

【解答过程】直线:=+5过定点0,5)，直线:+−+4=0过定点−4,1)，又直线⊥，

1212

因此点,的轨迹是以线段为直径的圆（除点(0,1)外），圆心−2,3)，半径=22，

22

(+2)+(−3)

圆的方程为=8(≠0且≠1)，又3),||=1，显然点(0,1)与的距离大于1，

22

(−+(−3)=1

则点在圆：上，依题意，圆与圆有公共点，

于是22−1≤||≤22+1，即22−1≤|+2|≤22+1，

解得−22−3≤≤−22−1或22−3≤≤22−1，