专题2.7 函数与方程（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.docx

专题2.7函数与方程【八大题型】

【新高考专用】

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【题型1函数零点所在区间的判断】 2

【题型2求函数的零点或零点个数】 4

【题型3根据函数零点个数求参数】 6

【题型4根据函数零点的范围求参数】 9

【题型5由函数零点分布求值（范围）】 12

【题型6复合函数的零点个数判定】 14

【题型7根据复合函数零点求参数】 18

【题型8函数零点的大小与范围问题】 21

1、函数与方程

考点要求

真题统计

考情分析

(1)理解函数的零点与方程的解的联系

(2)理解函数零点存在定理，并能简单应用

(3)了解用二分法求方程的近似解

2022年天津卷：第15题，5分

2023年新课标I卷：第15题，5分

2024年新课标Ⅱ卷：第6题，5分

函数的零点问题是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，一般以选择题与填空题的形式出现；函数与方程的综合应用也是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置.

【知识点1确定函数零点所在区间的方法】

1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.

(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)=g(x)-h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.

【知识点2函数的零点个数和求参问题】

1．函数零点个数的判断方法

函数零点个数的判定有下列几种方法：

(1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.

(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.

(3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.

2．已知函数零点求参数的方法

(1)已知函数的零点求参数的一般方法

①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；

②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；

③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.

(2)已知函数零点个数求参数范围的方法

已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.

【知识点3嵌套函数的零点问题】

1．嵌套函数的零点问题的解题策略

函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”,设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.

【题型1函数零点所在区间的判断】

【例1】（2024·河北·模拟预测）已知函数fx=3x+x?6有一个零点x=x0，则x0属于下列哪个区间（????）

A．12,1 B．1,32 C．

【解题思路】利用零点存在性定理计算即可.

【解答过程】由题知fx在R

∵f12=3?5.50

又33?4.520，∴f32

故选：B.

【变式1-1】（2024·海南·模拟预测）函数fx=2

A．?1,0 B．0,1 C．1,2 D．2,3

【解题思路】利用零点存在定理计算出满足条件的区间即可.

【解答过程】易知函数fx=2

又f1=1+1?30，

由函数的零点存在定理可知，函数fx的零点所在的一个区间是1,2

故选：C.

【变式1-2】（2024·吉林长春·一模）方程log3x+x=2的根所在区间是（

A．0,1 B．1,2 C．2,3 D．3,4

【解题思路】将问题转化为fx

【解答过程】设fx=log3x+x?2

∵y=log3x与y=x?2在0,+∞上均为增函数，

对于A，∵f1=log31+1?2=?1，∴

对于B，∵f1=?10，f2

∴?x0∈

对于CD，当x2时，fxf20，∴fx

故选：B.

【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）设函数fx=e

A．若fx

B．若fx

C．若fx

D．若fx

【解题思路】函数分段去绝对值，利