重难点08 导数中的同构问题（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.docx

重难点08导数中的同构问题【八大题型】

【新高考专用】

TOC\o1-3\h\u

【题型1同构：利用f(x)与x构造函数】 2

【题型2同构：利用f(x)与ex构造函数】 5

【题型3同构：利用f(x)与sinx，cosx构造函数】 7

【题型4指对同构问题】 9

【题型5利用同构比较大小】 13

【题型6利用同构解决不等式恒成立问题】 15

【题型7利用同构证明不等式】 19

【题型8与零点有关的同构问题】 25

1、导数中的同构问题

导数是高中数学的重要考查内容，而导数中的同构问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题，难度较大.

【知识点1导数中的同构问题的解题策略】

1．导数中的同构问题是通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题，主要有以下几种类型：

(1)利用f(x)与x构造函数

①出现nf(x)+xf(x)形式，构造函数F(x)=xnf(x).

②出现xf(x)-nf(x)形式，构造函数.

(2)利用f(x)与ex构造函数.

(3)利用f(x)与sinx，cosx构造函数.

2．同构式的应用

(1)在方程中的应用：如果方程f(a)=0和f(b)=0呈现同构特征，则a,b可视为方程f(x)=0的两个根.

(2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而

利用导数找到和函数单调性、最值等之间的练习，来解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.

【知识点2指对同构问题】

1．指对同构解决不等式问题

在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.

(1)五个常见变形：

.

(2)三种基本模式：

三种同构方式

①积型：

②商型：

③和差型：

【题型1同构：利用f(x)与x构造函数】

【例1】（2024·全国·模拟预测）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2)=0，当x0时，xf′(x)?f(x)0，则不等式xf(x)0的解集是（????）

A．(?∞,?2)∪(2,+∞) B．(?2,2)

C．(?∞,?2)∪(0,2) D．(?2,0)∪(2,+∞)

【解题思路】构造函数，令g(x)=f(x)

【解答过程】解：由题意，令g(x)=f(x)

∵x0时，g′(x)=

∴g(x)在(0,+∞)递增，

∵f(?x)=f(x)，

∴g(?x)=?g(x)，

g(x)在(?∞,0)递增，

∴g(x)是奇函数，g2

∴0x2时，g(x)0，x2时，g(x)0，

根据函数的奇偶性，?2x0时，g(x)0，x?2时，g(x)0，

xf(x)0，即x2g(x)0，即

∴?2x0或x2，

故选：D．

【变式1-1】（2024·安徽·一模）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2）＝1，当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞1，则不等式f(x)?1x0的解集为（

A．(-∞，2)∪(2，+∞) B．(-∞，2)∪(0，2)

C．(-2，0)∪(2，+∞) D．(-2，0)∪(0，2)

【解题思路】设Fx

【解答过程】解：设Fx=xf

即Fx在0,+∞上单调递增，因为fx在R上为偶函数，即

则f?2?1=f2?1=0，

得Fx在R上为奇函数，所以Fx在R上单调递增，f(x)?1x

当x0时，Fx=xf

当x0时，Fx=xf

综上所述，f(x)?1x0的解集为

故选:B.

【变式1-2】（23-24高二下·天津南开·期中）已知fx是定义在?∞,0∪0,+∞上的奇函数，若对于任意的x∈0,+∞，都有

A．2,+∞ B．

C．0,2 D．?2,0

【解题思路】令g(x)=x2f(x)

【解答过程】令g(x)=x2f(x)

因为fx是定义在?∞,0

∴g?x=?x

又当x0时，g′

∴g(x)在0,+∞上单调递增，∴g(x)在?

又f2=1

对于不等式fx?2x2

所以不等式fx?2x20等价于

所以x2，即不等式fx?2

故选：A．

【变式1-3】（23-24高二下·湖北武汉·期中）fx是定义在R上的奇函数，当x0时，有xf′

A．f14f2

C．4f29f3

【解题思路】令gx=x2fx，求导，根据xf′x+2fx0，得到

【解答过程】解：令gx

则g′

因为xf

所以g′

则gx=x

又y=x2是偶函数，且fx

所以gx=x

则gx在?

所以g2g1

g?1g?2

g