重难点04 利用导数研究不等式恒（能）成立问题（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.docx

重难点04利用导数研究不等式恒（能）成立问题【七大题型】

【新高考专用】

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【题型1直接法解决不等式恒（能）成立问题】 3

【题型2分离参数法求参数范围】 6

【题型3分类讨论法求参数范围】 9

【题型4构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】 12

【题型5与不等式恒（能）成立有关的证明问题】 16

【题型6洛必达法则】 20

【题型7双变量的恒（能）成立问题】 25

1、利用导数不等式恒（能）成立问题

恒(能)成立问题是高考的常考考点，是高考的热点问题，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度较大，解题时要学会灵活求解.

【知识点1不等式恒（能）成立问题的解题策略】

1．不等式恒（能）成立问题的求解方法

解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法：

(1)分离参数法解决恒（能）成立问题

①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题．

②恒成立；

恒成立；

能成立；

能成立.

(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题

分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.

【知识点2双变量的恒（能）成立问题的解题策略】

1．双变量的恒（能）成立问题的求解方法

“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变换有：

对于某一区间I，

(1).

(2).

(3).

【知识点3洛必达法则】

“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则.

1．洛必达法则

法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：

(1)及；

(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g(x)≠0；

(3)，

那么.

法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：

(1)及；

(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g(x)≠0；

(3)，

那么.

2．用洛必达法则处理型函数的步骤：

(1)分离变量；

(2)出现型式子；

(3)运用洛必达法则求值.

3．用洛必达法则处理型函数的步骤：

(1)分离变量；

(2)出现型式子；

(3)运用洛必达法则求值.

【注意】：

1．将上面公式中的换成，洛必达法则也成立.

2．洛必达法则可处理型求极限问题.

3．在着手求极限前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限.

4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

，如满足条件，可继续使用洛必达法则.

【题型1直接法解决不等式恒（能）成立问题】

【例1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若ex?ea≥e+lnax在x∈0,+∞上恒成立，则a的最大值为（????）

A．e2?e2 B．2e12

【解题思路】易知a0，原式可变形为f(x)=ex?e?ae?alnax≥0,(x0)，结合隐零点的解题思路，求出f(x)

【解答过程】由题意知，ax0，由x0，得a0.

原式可化为ex?

设f(x)=ex?e

又函数y=ex?e,y=?ax在

则当x→0时，f′(x)→?∞，当x→+

故存在t0使得f′(t)=0，即et?e?

且当0xt时，f′(x)0；当xt时，

所以函数f(x)在(0,t)上单调递减，在(t,+∞

故f(x)

所以et?

即1t?2ln

由函数y=1t,y=?2

知函数?(t)在(0,+∞)在单调递减，且?(1)=0，所以

所以e?eet?e≤

所以a的最大值为e1?

故选：C.

【变式1-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知不等式lnx?2x?a?

A．?∞,?12e B．?∞

【解题思路】构造两个函数?x=x2lnx,fx=?ex2

【解答过程】∵x0，所以不等式lnx?2x

设?x=x

当0x1e时，?′x0

所以?x在区间0,1e上是减函数，在区间1

又因为fx=?ex?1

因为不等式lnx?2

故选：C.

【变式1-2】（2024·四川成都·模拟预测）若关于x的不等式e?1lna+x≥aex?1

A．12e,e2 B．1e

【解题思路】题设中的不等式等价于e?1lnaex≥aex?1

【解答过程】由lna