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1980年全国统一高考数学试卷（理科）

一、解答题（共10小题，满分0分）

1．（6分）（1980?全国）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．

2．（6分）（1980?全国）半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．

3．（10分）（1980?全国）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．

4．（10分）（1980?全国）证明对数换底公式：（a，b，N都是正数，a≠1，b≠1）．

5．（10分）（1980?全国）直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A，从P看地面上一物体B（不同于A）．直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N（如图）．证明：平面N必与平面M相交，且交线垂直于AB．

6．（12分）（1980?全国）设三角函数，其中k≠0．

（1）写出f（x）极大值M、极小值m与最小正周期；

（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m．

7．（14分）（1980?全国）CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）．

8．（14分）（1980?全国）已知0＜α＜π，证明：；并讨论α为何值时等号成立．

9．（18分）（1980?全国）抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P（x0，y0）是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是）．

10．（1980?全国）设直线（L）的参数方程是（t是参数）椭圆（E）的参数方程是（θ是参数）问a、b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点．

1980年全国统一高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、解答题（共10小题，满分0分）

1．（6分）（1980?全国）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．

【考点】A1：虚数单位i、复数．

【专题】11：计算题．

【分析】直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可．

【解答】解：（1）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x2﹣3y2）．

（2）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x+y）（x﹣y）．

（3）x5y﹣9xy5=xy（x+yi）（x﹣yi）（x+y）（x﹣y）．

【点评】本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题．

2．（6分）（1980?全国）半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．

【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．

【专题】14：证明题．

【分析】根据两圆外切时两圆心之间的距离等于两半径之和，由三个圆的半径分别求出三角形的三边，求出最长一边的平方且求出其余两边的平方和，发现其相等，利用勾股定理的逆定理即可得证．

【解答】证明：设⊙O1、⊙O2、⊙O3的半径分别为1、2、3．

因这三个圆两两外切，

故有O1O2=1+2=3，O2O3=2+3=5，O1O3=1+3=4，

则有O1O22+O1O32=32+42=52=O2O32

根据勾股定理的逆定理，

得到△O1O2O3为直角三角形．

【点评】此题考查学生掌握两圆外切时圆心距与两半径之间的关系，是一道基础题．通过此题，学生要明白判断一个三角形是直角三角形的方法不仅可以根据一个角是直角得到三角形为直角三角形，还可以利用勾股定理的逆定理来判断一个三角形为直角三角形．

3．（10分）（1980?全国）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．

【考点】IM：两条直线的交点坐标；IG：直线的一般式方程．

【专题】14：证明题；31：数形结合．

【分析】建立直角坐标系，写出各点的坐标，利用两点的连线的斜率公式求出AB的斜率，利用两直线垂直斜率互为倒数得到AB边上的高的斜率，利用点斜式求出AB边的高的方程，同理求出AC边上的高，两高线的方程联立得到高线的交点．

【解答】证明：取△ABC最长一边BC所在的直线为X轴，经过A的高线为Y轴，设A、B、C的坐标分别为A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），根据所选坐标系，如图，有a＞0，b＜0，c＞0，AB的方程为，其斜率为，AC的方程为，其斜率为，高线CE的方程为高线BD的方程为．

解（1）、（2），得：（b﹣c）x=0

∵b﹣c≠0∴x=0

即高线CE、BD的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO上．

因此，三条高线交于一点．