小升初必考专题：完全平方数（讲义）2023-2024学年数学六年级下册-全国通用（含答案）.docx

完全平方数

完全平方数

定义：

我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数

性质：

性质1：完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9。

性质2：完全平方数被3、4、5、8、12、16除的余数一定是完全平方数。

性质3：完全平方数的约数一定有奇数个，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数

性质4：如果一个完全平方数的个位是6，则十位是奇数，反之亦然。

性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则末尾连续的0的个数一定是偶数。如果一个完全平方数的

个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0、2、6中的一个。

性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。

性质7：平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)。

性质8：偶数的完全平方是4的倍数，奇数的完全平方被8除一定余1，任何自然数的平方数不可能被

3除余2。

判别方法：

⑴两个连续自然数的乘积不是完全平方数。

⑵两个连续自然数的平方数之间不再有平方数。

⑶一个整数如果除以4余2或者除以4余3，那么这个整数肯定不是完全平方数。

⑷一个整数如果除以3余2，那么这个整数肯定不是完全平方数。

⑸完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数；若个位数字是6时，其十位上的数字

必为奇数。

例

例1

已知1×2×3×…×n＋3是一个自然数的平方，求n的值？

例

例2

一个正整数与1470的积是一个完全平方数，那么这个数最小是()。

例3从

例3

从1到2005的所有自然数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？

例4

能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？

例5

写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数。

例6

例6

试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同

例7

将16分解成若干个质数(可以相同)相加的形式，如果这些质数的乘积正好是完全平方数，那么这个完全平方数所有可能的值的和是多少？

测试题

1．一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168后的结果也是一个完全平

方数，那么这个正整数是多少？

2．一个数加上10，减去10都是一个平方数，求这个数。

3．一间屋子里有编号为1－100的100盏灯，全都是亮的，有编号为1－100的100名同学依次进入房间拉灯，规则如下：第一名同学把所有的灯都拉了一遍，第二名同学拉了所有号码是2的倍数的灯，第3名同学拉了所有号码是3的倍数的灯…第100名同学拉了所有号码是100的倍数的灯，问最后有几盏灯是灭的？?

4．求满足下列条件的所有自然数：⑴它是四位数。⑵被22除余数为5。⑶它是完全平方数。

5．求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方

6．甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元

答案

1．【分析】

设加上100后为，加上168后为，那么，即。因为与的奇偶性相同，所以只可能是，，解得，，因此原数是。

2．【分析】

B－A＝20，B－A＝(A＋B)(B－A)＝20，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，所以只能拆成2×10，这样A＋B＝10，B－A＝2，所以A＝4，B＝6，所以这个数为A2＋10＝B2－10＝26。

3．【分析】

要考虑灯是亮的还是灭的，关键看灯被拉了奇数次还是偶数次，因为原来都亮，要我们求灭的灯的个数，那么也就是求那些被拉了奇数次的灯有几个?注意拉灯的规则我们不难发现，每盏灯被拉的次数恰好是它的约数的个数?又因为约数个数是奇数等价于该数是完全平方数，因为1－100中的完全平方数有10个。因此最后有10盏灯是灭的。

4．【分析】

设，其中n，N为自然数，可知N为奇数。

11|N－4或11|N＋4

或

k＝1

k＝2

k＝3

k＝4

k＝5

所以此自然数为1369，2601，3481，5329，6561，9025。

5．【分析】

设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。证明设这四个整数之积加上1为m，则m为平方数而n(n＋1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n＋1是奇数，因而n(n＋1)＋2n＋1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。

6．【分析】

n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。