《子集、全集、补集》教学设计（二）.docVIP

高中数学

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《子集、全集、补集》教学设计（二）

教学设计

一、阅读引导

1.阅读教材，问题导入.

根据以下提纲，阅读教材第9页内容，回答下列问题：

观察下列每组两个集合，你能说出集合A，B中的元素有什么关系吗？

①；

②；

③为正方形}，为四边形}

问题1：集合A的元素与集合B的元素之间具有怎样的关系？

提示：集合A的元素都是集合B的元素.

问题2：如何用数学语言来表述这种关系？

提示：集合A是集合B的子集.

问题3：若，则集合A，B还有上述关系吗？

提示：没有，因为集合A的元素不都在集合B里面.

设计意图：本部分让学生从具体事例中感悟出共性，引出子集的概念.

2.归纳总结，核心必记.

（1）子集的定义：

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若，则），那么集合A称为集合B的子集，记为或，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.

我们知道，，也就是说，任何一个集合是它本身的子集.

对于空集，我们规定，即空集是任何集合的子集.

（2）真子集的定义：

如果，并且，那么集合A称为集合B的真子集，记为或，读作“A真包含于B”或“B真包含A”.

（3）补集的定义：

设，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为（读作“A在S中的补集”），即.

（4）全集的定义：如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.

二、知识深化

1.关于子集.

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若，则），那么集合A称为集合B的子集，记为或，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.

思考1：定义中集合A中的元素能有剩余的元素不在集合B中吗？

提示：不能.

思考2：如果集合A中存在着不是集合B的元素，它们还有子集关系吗？例如.

提示：没有.

思考3：若，能得出吗？

提示：能，这实际上是子集定义的符号语言表示：若，则.

思考4：对吗？

提示：对，符合子集的定义

思考5：如何用Venn图表示子集关系？

提示：如图（1）、图（2）所示.

思考6：结合思考4，与实数中的结论“若，且，则”相类比，在集合中，你又能得出什么结论？

提示：类比可得出子集有传递性，若，则，画Venn图表示很直观，清晰.

（通过类比实数中的“≤”和集合中的“”的相似之处，强化学生对符号所表示意义的理解.）

思考7：A对吗？

提示：对，我们规定.

思考8：两个符号与有什么区别？

提示：二表示两个集合的关系，而表示元素与集合的关系.

2.关于真子集.

如果，并且，那么集合A称为集合B的真子集，记为或，读作“A真包含于B”或“B真包含A”.

思考1：如果，那么A一定是B的真子集吗？

提示：不一定，还必须保证.

思考2：若，那么吗？

提示：是.

思考3：如何用Vem图表示真子集关系？

提示：如图所示.

思考4：子集有传递性，若，则，真子集有吗？

提示：真子集也有传递性，，则.

思考5：与有什么区别？

提示：或.若和同时成立，则更能准确地表达集合A，B之间的关系.当时，不成立.若，则不一定成立如集合，则A是B的子集，记为，但A不是B的真子集，即不成立.

3.关于补集.

设，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为（读作“A在S中的补集”），即.

思考1：若集合，则与相同吗？为什么？

提示：不同，.因为求补集有相对性，相对不同的集合，求出的补集是不同的.

思考2：求集合A对集合S的补集的前提条件是什么？

提示：.

思考3：结合实数的减法运算，完成下表，体会集合与实数运算的关系.

提示：补集.

思考4：如何用Veen图表示补集？

提示：如图所示，阴影部分为补集.

思考5：结合思考4，思考集合A与合起来一定是全集S吗？

提示：是.

思考6：___________，___________，__________，__________S.

提示：

4.关于全集.

如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.

思考1：在实数范围内讨论集合时一般用哪个集合作为全集？

提示：R.

思考2：全集是固定的吗？

提示：不是，通常把给定的集合作为全集，研究的问题不同，全集也不同，全集具有相对性.

三、例题剖析

例1判断下列各组集合中，A是否为B的子集：

（1）；

（2）.

想一想（1）中：集合A的元素都是集合B的元素吗？

想一想（2）中：集合B的元素分别是什么？A中的元素1在集合B中吗？

解（1）因为，即A中的每一个元素都是B的元素，所以A是B的子集.

（2）因为，但，所以A不是B的子集.

归纳