小学奥数题库《计算》公式类连续自然数的立方和公式-4星题（含详解）全国通用版.docx

计算-公式类计算-连续自然数的立方和公式-4星题

课程目标

知识点

考试要求

具体要求

考察频率

平方和公式

B

1.熟悉平方和公式

2.运用公式进行复杂的计算。

少考

知识提要

平方和公式

平方和公式

12+

精选例题

平方和公式

1.计算：112+12

【答案】????2485

【分析】????原式

2.12+3

【答案】????2185

【分析】????1

3.计算：12+22

【答案】????1001

【分析】????原式

4.计算：12+3

【答案】????1330

【分析】????原式

5.计算：11×29+12×28+?+19×21=?．

【答案】????3315

【分析】????

原式

6.计算：1×3+2×4+3×5+?9×11=?．

【答案】????375

【分析】????

原式

7.计算：1×4+3×7+5×10+?+99×151=?．

【答案】????256225

【分析】????观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为1，3，5，?，99，乘数依次为4，7，10，?，151，根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为2n-1，乘数可以表示为3n

原式

另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个差变为相等再进行计算．

原式

而12+32+5

1

1+3+5+?+99=50

所以

原式

小结：从上面的计算过程中可以看出，

1

而

1×2+2×3+?+99×100=

所以有

1

8.计算：36+49+64+81+?+400=?．

【答案】????2815

【分析】????原式

9.12+3

【答案】????9139

【分析】????因为

1

22

所以

1

1

当n=19

原式

10.规定a△b=a×(

【答案】????505

【分析】????这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和．但是我们注意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b=a-1，所以，我们不妨把

a

就变成了

a

所以2△1=22，3△2=32，

原式

11.对自然数a和n，规定a?n=an+

（1）1?2+2?

（2）2?1+2?

【答案】????（1）333300；（2）3×

【分析】????（1）

原式

（2）

原式

12.24×12×3+

【答案】????60

【分析】????虽然很容易看出37=13，1021=752

于是我们又有11

减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？

24×

13.计算：1×22+2×

【答案】????4

【分析】????分拆（2-1）×22=23-2

原式

14.1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10=?．

【答案】????330

【分析】????本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：

n

所以原式

=

另解：由于nn

原式

=

采用此种方法也可以得到

1×2+2×3+?+

15.已知正整数A分解质因数可以写成A=2α×3β×5γ，其中α,β,γ是自然数．如果A

【答案】????31

【分析】????A的二分之一是完全平方数，α-1,β,γ是2的倍数；A的三分之一是完全立方数，α,β-1,γ是3的倍数；A的五分之一是某个自然数的五次方，α,β,γ-1是5的倍数；要α+β+γ的值最小，分别求满足条件的α,β,γ值：3×5-1是2的倍数，α的最小值为15，2×3-1是5的倍数，γ

16.1×1+2×3+3×5+4×7+?+99×197=?．

【答案】????651750

【分析】????12

1×2+2×3+3×4+?+n

原式

17.看规律13=12，13+

【答案】????10800

【分析】????原式

18.计算下列式子的值：

24×(

【答案】????60

【分析】????虽然很容易看出12×3=

1

于是我们又有

1

减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项