小学数学专项《应用题》经典牛吃草问题基本知识-5星题（含解析）全国通用版.docx

应用题-经典应用题-牛吃草问题基本知识-5星题

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知识点

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具体要求

考察频率

牛吃草问题基本知识

C

1.了解牛吃草问题的概念。

2.能够准确理解牛吃草的解题原理。

3.可以熟练运用牛吃草公式来解决牛吃草问题。

少考

知识提要

牛吃草问题基本知识

概述

牛吃草问题：又称为消长问题，是英国伟大的科学家牛顿在他的普遍算术一书中提出的一个数学问题，所以也称为“牛顿问题”，俗称“牛吃草问题”．

解决该问题要抓住两个关键量：草的生长速度和草原的原草量

公式：

设定1头牛1天吃草量为“1”；（1）草的生长速度=（对应牛的头数×吃的较多的天数-对应牛的头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）（2

）原有草量=牛的头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数（3）吃的天数=原有草量÷（牛的头数-草的生长速度）（4）牛的头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

牛吃草的变型

“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．

精选例题

牛吃草问题基本知识

1.一个大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不断流入，若安排4台污水处理设备，36天可将池中的污水处理完；若安排5台污水处理设备，27天可将池中的污水处理完；若安排7台污水处理设备，?天可将池中的污水处理完．

【答案】????18

【分析】????牛吃草问题变形．

不妨设一台污水处理设备一天处理一份污水，

每天新流入的污水：

(4×36-5×27)÷(36-27)=1(

原有的污水量：

4×36-1×36=108(

分牛法：1台污水处理设备处理每天新流入的污水，剩下6台设备处理原有污水

108÷(7-1)=18(

2.解放军战士在洪水不断冲毁大坝的过程中要修好大坝．若10人需45分钟，20人需20分钟，则14人修好大坝需?分钟．

【答案】????30

【分析】????设每个人1分钟修好1份．

10×45=450(

20×20=400(

每分钟新冲毁：

(450-400)÷(45-20)=2(

原先冲毁：

450-2×45=360(

360÷(14-2)=30(

3.小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水．第一个桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶装满．第三个桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它装满？（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）

【答案】????6

【分析】????小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了2×4-1×3＝5(米)路，所以从杯中流出的速度是1×5＝0.2(杯/米)，于是1

4.如下图所示，一块正方形草地被分为完全相同的四块以及中间的阴影部分．已知草一开始是均匀分布，且以恒定的速度均匀生长．但如果某块地上的草被吃光，就不再生长（因为草根也被吃掉了）．老农先带着一群牛在1号草地上吃草，两天后把1号草地上的草全部吃完（这期间其他草地的草正常生长）．之后他让一半牛在2号草地上吃草，另一半在3号草地上吃草，结果又过了6天，这两个草地上的草也全部吃完．最后，老农把35的牛放在阴影草地上吃草，而剩下的牛放在4号草地上，最后发现两块草地上的草同时吃完．如果一开始就让这

【答案】????110

【分析】????设牛的头数为[2,5]=10头，设一头牛一天吃一份草，所以1，2，3，4号草地的生长速度为

(5×6-10×2)÷6=

原有草量为

2×10-

阴影分配牛的头数是4的1.5倍，所以阴影草地的成长速度和原有草量都是4号的1.5倍，所以整块草地的生长速度为

5

原有草量为

50

一开始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这些草需要

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方法二：假设1至4号草地每块面积为a，生长速度为v，1号草地2天吃完，草总量为a+2v；2号和3号草地，接着6天吃完，草总量为2a+16v；6天吃完的草总量应为2

3(

可得a＝10v，牛群每天吃草6v；又35的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外25的牛放在4号草地吃草，它们同时把草场上的草吃完，说明阴影部分为4号草地的1.5倍；相当于整个草地面积为5.5a

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5.有一牧场，草均匀生长，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再