1.1.1 空间向量及其线性运算(分层练习)（解析版）.docxVIP

第一章空间向量与立体几何

1.1.1空间向量及其线性运算

精选练习

基础篇

基础篇

在空间四边形OABC中，OA+AB+

A．OA B．AB C．OC D．AC

【答案】C

【分析】根据平面向量的加法运算法则，即可求解.

【详解】OA+AB+

在三棱锥A?BCD中，若△BCD是正三角形，E为其重心，则AB+12

【答案】0

【分析】首先根据几何关系，转化向量再进行运算可得答案.

【详解】延长DE交边BC于点F，则DE=2EF，

则有AB+12

故AB+12

在平行六面体ABCD?A1B1C

A．BC+BB

C．AD?AB+

【答案】ABC

【分析】作出平行六面体ABCD?A

【详解】解:如图所示：

?A中，BC+B

B中，A1

C中，AD?

D中，B1

故选:ABC．

下列命题中，正确命题的个数为（????）

①若a//b，则a与

②若AB=CD，则A，B，C，

③若a，b不共线，则空间任一向量p=λa+μ

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】举特例否定①；利用向量共线的定义否定②；依据共面向量基本定理否定③.

【详解】当a=0，b≠0时，a//

当AB=CD时，A，B，C，

当a，b不共线时，当且仅当p,a,b共面时才满足

（多选）下列命题正确的是（????）

A．空间中所有的单位向量都相等

B．若a=b

C．若a，b满足ab，且a，b

D．对于任意向量a，b，必有a

【答案】BD

【分析】根据向量的基本概念即可求解.

【详解】对于A：向量相等需要满足两个条件：长度相等且方向相同，缺一不可，故A错；

对于B：根据平行向量和相等向量的定义可知B正确；

对于C：向量不能比较大小，故C错；

对于D：根据向量的模的三角不等式知a+

（多选）下列命题为真命题的是（）

A．若空间向量a，b满足a＝b

B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC＝A

C．若空间向量m，n，p满足m=n，n

D．空间中，a//b，b

【答案】BC

【分析】由向量相等的条件和向量共线的定义判断各个选项.

【详解】对于A，两个向量相等，但方向不一定相同，不能得到a=

对于B，由正方体的结构特征可知，AC与A1C1长度相等，方向相同，有AC

对于C，空间向量m，n，p满足m=n，n=p，即m与n长度相等方向相同，

则有m与p长度相等方向相同，有m=

对于D，b=0时，满足a//b，

故选：BC

（多选）下列命题中错误的是（????）

A．|a|?|b

B．若A,B,C,D是空间任意四点，则有AB

C．若AB,CD

D．对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C，若OP=xOA+yOB+z

【答案】ACD

【分析】根据向量共线的性质可判断CA，由向量的线性运算即可判断B，根据共面定理的推论即可判断D.

【详解】对于A，当a,b方向相同的共线时，此时|a|?|b

对于B,AB+

对于C，AB,CD共线，有可能A,B,C,D四点在同一条直线上，所以不能得到

对于D，对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中

如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，

当λ=1时，点P在棱BB1上

B．当μ=1时，点P在棱B1

C．当λ+μ=1时，点P在线段B1C

D．当λ=μ时，点P在线段BC

【答案】BCD

【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解

【详解】当λ=1时，BP=BC+μ

则CP//BB1，即

同理当μ=1时，则B1P//BC，故

当λ+μ=1时，μ=1?λ，所以BP=λBC+

故点P在线段B1

当λ=μ时，BP=λBC+BB

故选：BCD．

已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点（如图所示），并且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，

【答案】证明见解析．

【分析】根据题意，由向量的线性运算可得EG=k

【详解】∵OE=kOA，OF

EG

=kOD

∴AC//EG，因为AC、EG

提升篇

提升篇

设向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据A，C，D三点共线，可得AC//CD，则存在唯一实数μ，使得

【详解】由AB=e1

得AC=

因为A，C，D三点共线，所以AC//

则存在唯一实数μ，使得AC=μCD，则2=4μ1+λ=8μ2=4μ，解得

若点P∈平面ABC，且对空间内任意一点O满足OP=14OA+λ

A．?58 B．?38 C．

【答案】D

【分析】根据条件得出P，A，B，C四点共面，再根据OP=14

【详解】∵P∈平面ABC，∴P，A，B，C四点共面，

又OP=14OA+λOB+18

或者根据∵P∈平面ABC，∴P，A，B，C四点共面，则存在实数x,y，使得PA=x

即OA?

又4OP=OA+4λ