4.5.2 用二分法求方程的近似解 教学设计（1）.docxVIP

第五章函数的应用（二）

4.5.2二分法求方程的近似解

《数学1必修本（A版）》的第五章4.5.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位．发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

课程目标

学科素养

1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．

2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．

3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．

a.数学抽象：二分法的概念；

b.逻辑推理：运用二分法求近似解的原理；

c.数学运算：运用二分法求具体方程的近似解；

d.直观想象：运用函数图像理解二分法的原理；

e.数学建模：体会二分法中的算法思想；

教学重点：用“二分法”求方程的近似解

教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

多媒体

教学过程

设计意图

核心教学素养目标

（一）创设问题情境

1．函数的零点:使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zeropoint）

2、零点存在判定法则

提出问题我们已经知道，函数y=lnx+2x?6在区间（２，３）

内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？

（二）问题探究

一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．取区间（２，３）的中点2.5，用计算工具算得f（2.5）≈－0.084．因为f（2.5）f（３）＜０，所以零点在区间（2.5，３）内．

再取区间（2.5，３）的中点2.75，用计算工具算得f（2.75≈0.512．因为f（2.5）f（2.75）＜０，所以零点在区间（2.5，2.75）内．

由于（２，３）?（2.5，３）??（2.5，2.75），所以零点所在的范围变小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小,这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值．

概念解析：1．二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·_f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？

连续不断；f(a)·f(b)0；一分为二；零点

[提示]二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．

2．二分法求函数零点近似值的步骤

f(a)·f(b)0；f(c)=0；b=c；(a，c)；f(c)·f(b)0；(c，b)；|a－b|ε?

1．思考辨析

(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．()

(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．()

(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，

零点必定在右侧区间内．()

[答案](1)×(2)×(3)×

2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是()

A．|a－b|0.1B．|a－b|0.001

C．|a－b|0.001D．|a－b|＝0.001

B[据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．]

3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．

x3[∵x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]

4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.

例1.借助信息技术，用二分法求方程2x

解：原方程即2x+3x=７，令fx=2

观察图或表，可知f（１）f（２）＜０，说明该函数在区间（１，２）内存在零点x0