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高中数学

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《几个函数模型的比较》教学设计

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

问题引人

（1）用计算器或计算机计算下列各值：

，，.

猜测一下，大概是多少？大概是多少？

（2）用计算器或计算机计算下列各值：

，.

猜测一下，大概是多少？大概是多少？

猜测一下，大概是多少？概是多少？

（3）用计算器或计算机计算一下（1）（2）中的结果，与你的猜测进行比较，谈谈你对“指数爆炸”的理解.

教师引导学生利用计算器求值，并探究函数在和情况下函数值的变化规律.

（1），，，，，.

（2），，.

（3）用计算器或计算机计算，得

，，

，.

由问

题引入课题，激发学生的学习兴趣.

归纳总结

根据（1）（2），我们可以发现“指数爆炸”的含义是：当时，指数函数随着x的增大而增大，且增大的速度越来越快，呈“爆炸”的趋势；当时，指数函数随着x的增大而减小，并逐步趋向于0.

师生共同总结：指数函数，当时是增函数，当时是减函数.

通过实例，推导出结论，培养学生分析问题、解决问题能力.

探究问题

（1）

（1）在同一个直角坐标系中画出下列4个函数在区间上的图象：

，，

结合这4个函数的图象，比较它们随着x的增大函数值增长的快慢，并指出：当x的值足够大（）的时候，这4个函数的值的大小关系，

师：增函数的共同特点是函数值y随自变量x的增大而增大，但不同函数在同一区间内的增长快慢是否相同？

教师引导学生画出函数图象（教材图），学生观察图象得出结论.

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

当时，，

对应地,

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

当时，.

可以发现：当x的值足够大（）时，这4个函数值的大小关系是

.

通过

画函数图象，并观察图象得出结论，培养学生的画图、识图能力.

探究问题

（2）

（2）先想象下列两组函数图象之间的关系，再用数值验算，提出更般的猜想.

①与；

②与y.

教师引导学生进行问题探究，共同归纳总结得出结论.

①可以想象，在区间上，函数与的图象都是随着x的增大而上升的，函数值的大小有如下特征：

当时，；

当时，，

例如，当时，，，

显然；

当时，，

例如，当时，，，

显然.

②可以想象在区间上，函数与的图象都是随着x的增大而上升的，函数值的大小有如下特征：

当时，；

当时，，

例如，当时，，

显然；

当时，；

当时，，

例如，当时，，

显然.

因此，我们可以得到更一般的猜想：

对于指数函数y=a^{x}(a1)，幂函数（）和对数函数，当x足够大时，总有.

培养

学生的问题探究能力.

探究问题

（3）

（3）借助图形计算器或计算机，作出下列两组函数的图象，验证你在（2）中的猜想.

①与；②与.

教师引导学生进行问题探究，共同归纳总结得出结论.

借助图形计算器或计算机，观察函数的图象（教材图），可以发现：当x的值从0开始增大时，随着x的增大，当时，；之后很快有，直到时，总有.

同样，借助图形计算器或计算机，观察函数的图象（教材图），可以发现：当x从4开始增大时，一直有，直到时，总有.

小大由此，我们进一步验证了（2）中的猜想：当x足够大时，总有.

培养

学生的问

题探究能力.

课堂小结

1.一次函数、指数函数、对数函数、幂函数的增长方式有何差异？

2.“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”对应的分别是什么函数？

学生相互交流收获与体会，并进行反思总结.

关注

学生的自主体验，反思和发表本节课的体验与收获.

课后作业

教材第224页练习第2题.

学生独立完成.

巩固

知识，培养能力.

板书设计

8.2.1几个函数模型的比较“指数爆炸”的含义：当时，指数函数随着x的增大而增大，且增大的速度越来越快，呈“爆炸”的趋势；当时，指数函数随着x的增大而减小，并逐步趋向于0

（1）可以发现：当x的值足够大（）时，这4个函数值的大小关系是

（2）对于指数函数（），幂函数y=x（a0）和对数函数（），当x足够大时，总有

（3）当x足够大时，总有