上海外国语大学附属浦东外国语学校2022-2023学年高二下学期期中数学试卷(解析).docxVIP

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上海外国语2022学年第二学期高二年级数学期中

一、填空题（第1题至第6题每题3分，第7题至第10题每题4分，一共34分）

1已知函数，则________．

【答案】

【解析】

【分析】求导后计算即可.

【详解】因，所以.

故答案为：

2.若的展开式中含有常数项，则满足条件的n的最小值为______.

【答案】5

【解析】

【分析】求出二项展开式的通项,令的指数为方程有解，即可求出正整数的最小值.

【详解】由题意，展开式的通项为，

∵展开式中含有常数项，

∴，解得：，

∵，

∴当时,最小为.

故答案为：5.

3.若的展开式中的系数是，则．

【答案】1

【解析】

【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的项的系数，再根据的系数是列方程求解即可.

【详解】展开式的的通项为，

令，

的展开式中的系数为，

故答案为1.

【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.

4.设，则______.

【答案】4096

【解析】

【分析】采用赋值法，令即可求出结果.

【详解】令，则,

即，

故答案为：4096.

5.______.

【答案】

【解析】

【分析】利用二项式定理即可得解.

【详解】原式.

故答案为：.

6.有5张卡片，每张卡片的正反两面分别标有两个数字，且第张卡片上的两个数字分别为和．用这五张卡片排成一排，一共可以组成______个不同的五位数（用数字作答）．

【答案】3456

【解析】

【分析】先分析每张卡片上数字，再分类讨论，利用排列组合数及两个计数原理求解.

【详解】第1张卡片上的两个数字分别为0和1；第2张卡片上的两个数字分别为2和3；

第3张卡片上的两个数字分别为4和5；第2张卡片上的两个数字分别为6和7；

第5张卡片上的两个数字分别为8和9，

若第1张卡片上选数字0，则可以组成不同的五位数的个数为；

若第1张卡片上选数字1，则可以组成不同的五位数的个数为；

由一共可以组成不同的五位数的个数为.

故答案为：3456.

7.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_________种(用数字作答).

【答案】1080

【解析】

【分析】该问题属于平均分组（堆）再分配的问题，先将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，再将其分配到四个不同场馆即得.

【详解】将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人有种方法，进而将其分配到四个不同场馆，有种情况，

由分步计数原理可得，不同的分配方案有45×24=1080种.

故答案为：1080.

【点睛】易错题，在分组过程中，要注意分组重复的情况，理解中分母的意义．

8.已知对任意成立，求实数a的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】将不等式两边取对数，分离参变量并构造函数，求出函数的最值即可得解.

【详解】，，而，

于是得：，，

令，，，

当时，，当时，，

因此，在上单调递增，在上单调递减，

即当时，，

于是得，解得，

所以实数a的取值范围是.

故答案为：.

9.设，分别是定义在上奇函数和偶函数，且，当时，且则不等式的解集是________.

【答案】

【解析】

【分析】构造函数，根据已知，利用函数的奇偶性、导数进行求解.

【详解】设，则，

因为当时，，所以当时，，

所以函数在上单调递增，

又，分别是定义在上的奇函数和偶函数，

所以，即是上的奇函数，

故函数在上单调递增，，

又，所以，所以，

不等式等价于，解得或，

不等式的解集是解集为.

故答案为：.

10.对于，将n表示为，当时，.当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，，故，）.若，则______.

【答案】

【解析】

【分析】将分为，，，…，等7种情况，由组合数的性质，分析其中的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案．

【详解】，

设，且为整数，

则，

中6个数都为0或1，

其中没有一个为1时，有种情况，即有个；

其中有一个为1时，有种情况，即有个；

其中有2个为1时，有种情况，即有个；

…

故，同理可得：，

…

，

,

则.

故答案为:．

【点睛】关键点睛：本题比较综合，难度大