2025高考数学必刷题 第38讲、向量中的隐圆（学生版）.docxVIP

2025高考数学必刷题

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第38讲向量中的隐圆

知识梳理

技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆

乘积型：

定理：平面内，若为定点，且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆

证明：由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆．

技巧二．极化恒等式和型：

定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。

证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆．

技巧三．定幂方和型

若为定点，，则的轨迹为圆．

证明：

．

技巧四．与向量模相关构成隐圆

坐标法妙解

必考题型全归纳

题型一：数量积隐圆

例1．（2024·上海松江·校考模拟预测）在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：

①的最小值为；②的最小值为；

③的最大值为；④的最大值为8.

其中，正确结论的个数是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

例2．（2024·全国·高三专题练习）若正的边长为4，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

例3．（2024·山东菏泽·高一统考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为所在平面内的动点，且PC＝2，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知是边长为的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若，则的最小值是

A． B． C． D．

变式2．（2024·北京·高三专题练习）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.

变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______.

题型二：平方和隐圆

例4．（2024·全国·高三专题练习）已知是单位向量，满足，则的最大值为________．

例5．（2024·上海·高三专题练习）已知平面向量、满足，，设，则________.

例6．（2024·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

变式4．（2024·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知直线与点，若直线上存在点满足（为坐标原点），则实数的取值范围是（）

A． B．

C． D．

变式5．（2024·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考阶段练习）设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（?????）

A． B．

C． D．

变式6．（2024·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点，若圆C上存在点M，满足，则点M的纵坐标的取值范围是___________.

题型三：定幂方和隐圆

例7．（2024·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）已知点，，直线：上存在点，使得成立，则实数的取值范围是______.

例8．（2024·浙江·高三期末）已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

例9．（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量，的夹角为60°，向量满足，若对任意的，记的最小值为M，则M的最大值为

A． B． C． D．

变式7．（2024·江苏·高三专题练习）已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为（????）

A． B．2 C． D．1

变式8．（2024·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）已知、、是平面向量，是单位向量．若，，则的最大值为_______．

变式9．（2024·四川达州·高二四川省大竹中学校考期中）已知，，是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是_______．

变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知平面向量、、、，满足，，，，若，则的最大值是_________.

变式11．（2024·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是__________.

题型四：与向量模相关构成隐圆

例10．（2024·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是__________．

例11．（2024·上海·高三专题练习）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为____________．

例12．（2024·上海金山·统考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为__________.

变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为__________.

变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，，B在直线上，，动点M满足，则的最小值为__________.

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