2025高考数学必刷题 第85讲、计数原理（学生版）.pdfVIP

2025高考数学必刷题

第讲计数原理

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知识梳理

知识点1、分类加法计数原理

n

完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的办法，在第2类办法中有种

mm

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不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：

nm

n

Nmmm种不同的方法．

12n

知识点2、分步乘法计数原理

n

完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同

mm

12

n

的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同

mNmmm

n12n

的方法．

注意：两个原理及其区别

分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有类办法，这类办法之间是互

nn

斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理．

分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题．如果完成某件事情有个

n

步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这个步骤后，

n

这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理．

当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可

能同时用到两个计数原理．即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方

法数可能会采取分类的思想求方法数．对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而

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得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验排列组合问题的很好方法．

知识点3、两个计数原理的综合应用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类

计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告

完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．

必考题型全归纳

题型一：分类加法计数原理的应用

例1．（2024·全国·高三专题练习）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成

一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的

“正交线面对”的个数是（）

A．48B．18C．24D．36

例2．（2024·四川成都·双流中学校考模拟预测）如图，小