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《空间图形的体积》课时同步详解

问题情境导入

从生活经验中我们知道，不能将橘子皮展开成平面，因为橘子皮近似地看作球形，这种曲面不能展开成平面图形.古人在计算圆周率时，一般用割圆术，即用圆的内接或外接正多边形来逼近圆的周长.理论上，只要取的圆内接正多边形边数越多，圆周率就越精确，直到无穷，这种思想方法就是朴素的极限思想.另外，我们了解了古人的数学成就祖暅原理，运用这些思想，我们能进行球的体积和表面积的探究吗?

新课自主学习

自学导引

1.柱体、锥体、台体的体积.

几何体

体积

柱体

_____

锥体

_____

台体

_____

2.球的体积和表面积.

若球的半径为,则

（1）球的体积为_____.

（2）球的表面积为_____.

答案

1.（S为底面积,h为高）为底面积,为高)分别为上、下底面面积,为高)

2.(1)(2)

预习测评

1.三棱锥的侧棱两两垂直,三条侧棱的长分别为,则三棱锥的体积是（）

A.60

B.20

C.10

D.30

2.直径为6的球的表面积和体积分别是（）

B.

C.

3.长方体相邻的三个面的面积分别是,则长方体的体积是（）

A.

B.

C.

D.6

4.已知圆锥的高为4,体积为，则它的底面半径为_____.

答案

1.

答案：C

解析:由三棱锥的侧棱两两垂直且三条侧棱的长分别为可知三棱锥的体积是.

2.

答案：D

解析:由已知得球的半径为3,则球面，.

3.

答案：C

解析:设长方体同一个顶点上三条棱的长分别为,,则,解得,所以长方体的体积.

4.

答案：

解析:设底面半径为,则,解得,即底面半径为.

新知合作探究

探究点1柱体、锥体、台体的体积

知识详解

几何体

体积

柱体

（S为底面积，h为高）

锥体

（S为底面积，h为高）

台体

（，S分别为上、下底面面积，h为高）

同侧面积公式一样，我们可以从台体的体积公式中推导出柱体和锥体的体积公式，即当台体的上底面积为0时，可得到锥体的体积公式；当台体的上底面和下底面的面积一样时，可得到柱体的体积公式.

典例探究

例1如图所示,正方体的棱长为1,则三棱锥的体积是（）

A.

B.

C.

D.1

解析因为正方体的棱长为1,所以.

答案A

变式训练1已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱为，则该正六棱柱的体积为_____.+

答案18

点拨因为正六棱柱的底面边长为2，侧棱为，所以正六棱柱的底面积为，所以该正六棱柱的体积为.

变式训练2已知圆台的高为3，在轴截面中，母线与底面直径的夹角为,轴截面中的一条对角线垂直于腰,求圆台的体积.

答案如图所示,设圆台的上、下底面半径和母线长分别为,高为.

作于点,则.

又,所以,即,

所以.

又,所以,

所以,即,

所以,所以,

而,所以，

即圆台的体积为.

探究点2球的表面积和体积

知识详解

1.球的表面积.

设球的半径为,则球的表面积为，的表面积是球的大圆面积的4倍.

2.球的体积.

设球的半径为R，则球的体积为.

特别提示

1.一个关键.

球的表面积公式与球的体积公式是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件.把握住公式,球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.

2.两个结论.

(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方.

(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方.

典例探究

例2若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,求圆锥侧面积与球面面积之比.

解析通过已知条件将圆锥的底面半径、母线长以及球的半径全都用圆锥的高来表示,然后利用公式化简计算即可.

答案设圆锥的底面半径为,高为,母线长为,球的半径为,

则由题意得

所以,所以,所以，

所以，

所以.

变式训练3已知球的体积是,则此球的表面积是（）

A.

B.

C.

D.

答案Ｂ

点拨设球的半径为,则由已知得,解得.故.

易错易混解读

例已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是和,求这两个截面圆间的距离.

错解如图,设球的大圆为圆分别为两截面圆的圆心,为经过点的直径,由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8.在中,.在中,.所以,故这两个截面圆间的距离为2.

当两截面圆在球心同侧时,如图;

当两截面圆在球心两侧时,如图(2),.

综上可知,这两个截面圆间的距离为2或14.

纠错心得对于球的截面问题,要正确把握球的结构特征,全面考虑问题,需要分类讨论的问题要做到不漏解.

课堂快速检测

1.若一个圆锥的底面半径