n维向量组完整版.pptx

第三章n维向量;3.1向量;一.向量的概念;二.向量的线性运算;定义3.1.2：设，那么向

量称为与的和，记为，即

【注】由此可知向量的减法

（2）向量的数乘

定义3.1.3：设为n维向量，，向量

称为数与向量的乘积，记作

向量的加法和数乘统称为向量的线性运算。

;（3）向量的线性运算满足的运算规律

例：设，求和

;解：

;三.向量空间;证明：设，则

即对于向量的加法和数乘运算封闭，所以是一个向量空间。

;3.2向量组及其线性组合;一.向量组的概念;

（2）若令

则矩阵A可由列向量组表示成;二.向量组的线性组合;组成的向量组称为n维单位向量组，且任意n维向量都可以被该

向量组线性表出。（有的书上用

表示单位向量组。）

（4）向量组中任意向量都可以用这个向量组线性

表出，即

例：设有四个三维向量

试将向量表示为的线性组合。

解：设存在一组数，使得关系式

成立，则有，即

;

由克莱姆法则得，所以向量可以表示为

向量组的线性组合，且

2.如何判断一个向量可由一个向量组线性表出

定理3.2.1：设n维向量组为

令

;

若，则向量可由向量组线性

表出。

命题1：设m维向量组为

则向量可由向量组线性表出的充

分必要条件是线性方程组

;

有解。

【注】定理3.2.1和命题1的区别是，定理3.2.1中向量组是

，共有n个向量，且每个向量都是n维，而命题1中向量

组是，共有n个向量，但每个向量都是m维。其实，

当时，命题1就是定理3.2.1，所以命题1的使用范围更广。;定理3.2.2：若向量可由m维向量组线性表出，则矩阵

的行经初等行变换可将其化为零行。

推论3.2.1：向量组构成的矩阵经初

等行变换出现零行的充分必要条件是至少有一个向量可由其他

向量线性表出。

;3.求线性表出的方法

已知向量组，如何判断向量能否由向量组

线