专题05 数学定理证明问题（原卷版） .pdfVIP

2023年中考不常考满分当成宝数学10个特色专题精炼（中等难度）

专题05数学定理证明与应用问题

1．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．

证法1：如图，

∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），

又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），

∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．

∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．

证法2：如图，

∵∠A＝76°，∠B＝59°，

且∠ACD＝135°（量角器测量所得）

又∵135°＝76°+59°（计算所得）

∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．

下列说法正确的是（）

A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整

B．证法1用严谨的推理证明了该定理

C．证法2用特殊到一般法证明了该定理

D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

2．如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．

（1）a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；

（2）求证：△ABC的内角和等于180°；

（3）若＝，求证：△ABC是直角三角形．

3.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》

“”“”

中就有若勾三，股四，则弦五的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图（如图

1“”

）后人称之为赵爽弦图，流传至今．

1

（）①请叙述勾股定理；

②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定

理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

2456

（）①如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三

S+S=S

_______

个图形中面积关系满足123的有个；

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别

为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；

3

（）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复

8“”9“”

这一过程就可以得到如图所示的勾股树．在如图所示的勾股树的某部分图形中，设大正方形M的

mac

边长为定值，四个小正方形，B，，的边长分别为，，，d，已知，

ACDbÐ1=Ð2=Ð3=Ða

则当Ða变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）

2222

_______

①a+b+c+d=；