2025高考数学必刷题 第49讲、直线、平面垂直的判定与性质（学生版）.docxVIP

2025高考数学必刷题

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第49讲直线、平面垂直的判定与性质

知识梳理

知识点1：直线与平面垂直的定义

如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．

知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言

图形语言

符号语言

判断定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

面⊥面?线⊥面

两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

_

_

_

a

平行与垂直的关系

一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直

_

_

平行与垂直的关系

两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直

?

?

_

b

_

a

知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言

图形语言

符号语言

性质定理

垂直于同一平面的两条直线平行

?

?

_

b

_

a

文字语言

图形语言

符号语言

垂直与平行的关系

垂直于同一直线的两个平面平行

_

_

线垂直于面的性质

如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直

知识点4：平面与平面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则）

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

_

_

知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言

图形语言

符号语言

性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

_

_

_

a

【解题方法总结】

线线线面面面

（1）证明线线垂直的方法

①等腰三角形底边上的中线是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形对角线互相垂直；

④直径所对的圆周角是直角；

⑤向量的数量积为零；

⑥线面垂直的性质；

⑦平行线垂直直线的传递性（）．

（2）证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义；

②线面垂直的判定（）；

③面面垂直的性质（）；

平行线垂直平面的传递性（）；

⑤面面垂直的性质（）．

（3）证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理（）．

空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置．

性质

性质

性质

性质

性质

性质

判定

判定

判定

判定

判定

线∥面

线∥线

面∥面

线⊥面

线⊥线

面⊥面

必考题型全归纳

题型一：垂直性质的简单判定

例1．（2024·甘肃兰州·校考模拟预测）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

例2．（2024·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（）

A．若，且，则 B．若，，，则

C．若，且，则 D．若，，，则

例3．（2024·陕西咸阳·统考二模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题：

①若∥，，则∥，②若，，则，

③若，，则∥，④若，，，则

其中正确的命题是（）

A．②③ B．②④ C．①③ D．①②

变式1．（2024·河南·校联考模拟预测）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

变式2．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）如图所示的菱形中，对角线交于点，将沿折到位置，使平面平面.以下命题:

①；

②平面平面；

③平面平面；

④三棱锥体积为.

其中正确命题序号为（?）

A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②④

变式3．（2024·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知l，m，n是三条不同的直线，，是不同的平面，则下列条件中能推出的是（）

A．，，且

B．，，，且，

C．，，，且

D．，，且

【解题方法总结】

此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．

题型二：证明线线垂直

例4．（2024·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，，．

证明：；

例5．（2024·广东深圳·统考二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.

证明：；

例6．（2024·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱中，是的中点，是线段上一点.

求证：；

变式4．（2024·福建宁德·校考模拟预测）图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半圆组成的平面图形，，，．E是半圆上的一个动点，当△CDE周长最大时，将半圆沿着CD折起，使平面平面ABCD，此时的点E到达点P的位置，如图2．

求证：；

变式5．（2024·河南·校联考模拟预测）如