备战2025年高考数学各类题型真题快练作业43（带解析答案）.doc

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专题层级快练(四十三)

一、单项选择题

1．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O半径为()

A.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)

C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)

答案C

解析由球心O作平面ABC的垂线，由题可知垂足为BC的中点，设其为点M.

又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝eq\r(AM2＋OM2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(2)＋62)＝eq\f(13,2).

2．(2024·郑州市第三次质量检测)古希腊数学家阿基米德在《论球和圆柱》中，运用穷竭法证明了与球的面积和体积相关的公式．其中包括他最得意的发现——“圆柱容球”．设圆柱的高为2，且圆柱以球的大圆(球大圆为过球心的平面和球面的交线)为底，以球的直径为高，则球的表面积与圆柱的体积的数值之比为()

A．4∶3 B．3∶2

C．2∶1 D．8∶3

答案C

解析作轴截面如图，

可知圆柱的底面半径为1，高为2，球的半径为1.

则球的表面积为S＝4π×12＝4π.

圆柱的体积为V＝π×12×2＝2π.

∴球的表面积与圆柱的体积的数值之比为2∶1.

3．(2024·唐山一中模拟)正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为()

A．64π B．32π

C．16π D．8π

答案A

解析如图，作PM⊥平面ABC于点M，则球心O在PM上，PM＝6，连接AM，AO，则OP＝OA＝R(R为外接球半径)，在Rt△OAM中，OM＝6－R，OA＝R，又AB＝6，且△ABC为等边三角形，故AM＝eq\f(2,3)eq\r(62－32)＝2eq\r(3)，则R2－(6－R)2＝(2eq\r(3))2，则R＝4，所以外接球的表面积S＝4πR2＝64π.

4．(2024·山东菏泽市联考)鳖臑(biēnào)是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A－BCD是一个鳖臑，其中AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝6，BC＝3，DC＝2，则三棱锥A－BCD外接球的体积为()

A.eq\f(49π,3) B.eq\f(343π,2)

C．49π D.eq\f(343π,6)

答案D

解析本题考查三棱锥外接球的体积．由题意，三棱锥A－BCD可放置在长方体中，如图所示．易得三棱锥A－BCD外接球的直径为AD，且AD＝eq\r(62＋32＋22)＝7，故三棱锥A－BCD外接球的半径R＝eq\f(7,2)，所以三棱锥A－BCD外接球的体积V＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(343π,6).

5．(2023·全国甲卷，理)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为()

A.eq\f(\r(2),12) B.eq\f(\r(3),12)

C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(3),4)

答案A

解析如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝eq\r(2).连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1＝eq\r(1－（\f(AB,2)）2)＝eq\r(1－（\f(\r(2),2)）2)＝eq\f(\r(2),2)，所以三棱锥O－ABC的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC×OO1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),12).

6．(2024·安徽合肥模拟)已知球的直径SC＝6，A，B是该球球面上的两点，且AB＝SA＝SB＝3，则三棱锥S－ABC的体积为()

A.eq\f(3\r(2),4) B.eq\f(9\r(2),4)

C.eq\f(3\r(2),2) D.eq\f(9\r(2),2)

答案D

解析设该球球心为O，因为球的直径SC＝6，A，B是该球球面上的两点，且AB＝SA＝SB＝3，所以三棱锥S－OAB是棱长为3的正四面体，其体积VS－OAB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×eq\f(3\r(3),2)×eq\r(6)＝eq\f(9\r(2),4)，同理VO－ABC＝eq\f(9\r(2),4)，故