湖南省临湘市第五中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(解析).docxVIP

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临湘五中2023年度下学期期中考试数学试卷

本卷满分150分，考试时间120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.抛物线的焦点坐标为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出抛物线的标准式，根据标准式可得焦点坐标.

【详解】抛物线的标准式为，

其焦点在上，坐标为.

故选：A.

2.经过A（0，2），B（-1，0）两点的直线的方向向量为（1，k），则k=（）

A.1 B.2 C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线的斜率公式即可求出.

【详解】经过两点的直线的方向向量为（1，k），

所以，解得

故选：B

3.已知双曲线（a＞0）的离心率是则a=

A. B.4 C.2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a的方程求解.

【详解】∵双曲线的离心率，，

∴，

解得，

故选D.

【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4.若直线将圆分成了面积相等的两部分，则（）

A. B. C.1 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线过圆心列式计算即可.

【详解】若直线将圆分成了面积相等的两部分,

则直线必过圆心，又圆的圆心为，

，

解得.

故选：A.

5.已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（）

A.7 B.6 C.5 D.4

【答案】D

【解析】

【分析】利用抛物线的定义求解即可.

【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，

所以到准线的距离为，

又到直线的距离为，

所以，故.

故选：D.

6.在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】以为基底表示出，利用数量积相关公式求出，，然后可得向量夹角余弦值，即可得答案.

【详解】记，

由题知，，

所以，

又，

所以，

，

所以，

所以直线AM和CN夹角的余弦值为.

故选：B

7.赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米，若一艘宽12米，水面以上高2米的货轮恰好能通过，则拱顶到水面的距离至少为（）

A.3米 B.4米 C.5米 D.3.5米

【答案】B

【解析】

【分析】设圆的半径为，画出草图，利用勾股定理求出圆的半径与，即可得解；

【详解】解：根据题意，如图：设圆半径为，

已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米，设此时的水面为，为的中点，

则，依题意一艘宽12米，水面以上高2米的货轮恰好能通过，则，且

所以，解得，，所以拱顶到水面的距离为米；

故选：B．

8.已知双曲线的左、右焦点分别为，．点A在上，点在轴上，，，则的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】记，分别用m表示出，在中由勾股定理可得，在中由三角函数定义可得，再在中利用余弦定理列齐次式，然后可得离心率.

【详解】因为，所以三点共线，

又，所以为直角三角形，

记，则，

由双曲线定义和对称性可得，

则有，即，

解得或（舍去）.

记，则，

在中，由余弦定理得，

整理得，得.

故选：B

【点睛】双曲线过焦点的三角形问题，关键是充分利用双曲线定义，结合余弦定理、勾股定理得到关于a、b、c的齐次式，然后可求离心率.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）.

A.，， B.，，

C.，， D.，，

【答案】BC

【解析】

【分析】根据空间向量共面定理的知识确定正确答案.

【详解】依题意构成空间的一个基底，

A选项，由于，所以，，共面.

B选项，由于不存在实数使，所以，，不共面，B选项正确.

C选项，，由于不存在实数使，所以，，不共面，C选项正确.

D选项，由于，所以，，共面.

故选：BC

10.方程表示曲线，给出以下命题是真命题的有（）

A.曲线可