2025高考数学必刷题 第55讲、立体几何中的压轴小题（教师版）.pdfVIP

2025高考数学必刷题

第讲立体几何中的压轴小题

55

必考题型全归纳

题型一：球与截面面积问题

例．（湖南长沙高二长郡中学校考开学考试）已知三棱锥PABC的四个顶点在球

12024··O



PAPBPCABC

的球面上，，是边长为的正三角形，，，

62PA3PEBA3BF

，过点作球的截面，截面面积最小值为（）

CEF90EO

A．8πB．16πC．27πD．40π

【答案】A

PAPBPCABCPABC

【解析】∵，为边长为的等边三角形，∴为正三棱锥，

62

ACMBM、PMPMAC,BMAC

取的中点，连接，则，PMBMM，

PM、BM平面，所以AC平面，平面，所以PBAC，

PBMPBMPBPBM

又，，∴EF//PB，∴EFAC，又EFCE，CEACC，

PA3PEBA3BF

CE、AC平面PAC，∴EF平面PAC，PB平面PAC，

∴BPA90，∴PAPBPC6，

∴PABC为正方体PBDCABDC的一部分，

111

1

可得外接球的半径为R36363633，

2

APHOH、AD

取的中点，连接1，

1

可得OHAD32，EH1，所以2，

1OE19

2

过点作球的截面，设截面与棱PA、PC、PD的交点分别为E、Q、G，

EO

当垂直EQG时截面面积最小，此时即为截面圆的圆心，

OEE

截面圆半径为222，截面面积为8π.

rROE8

故选：．

A

1

2025高考数学必刷题

例．（四川绵阳高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）四面体的四个顶点

22024··ABCD

OABBCCDDA4

都在球的球面上，，，点，，分别为棱，